数据结构--二叉树-堆（1）

文章目录

  • 树
    • 概念
    • 相关的基本概念
    • 树的表示
  • 二叉树
    • 概念
    • 特殊二叉树
    • 性质
  • 堆
    • 二叉树的顺序结构
    • 堆的概念
  • 堆的实现
    • 初始化
    • 数组初始化为堆
    • 向上调整
    • 向下调整
    • 插入
    • 删除
    • 打印、摧毁、判空、获取堆顶数据
    • 验证
  • 堆的应用
  • 堆排序
  • TopK问题

树

概念

树是一种常见的非线性的数据结构，，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
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相关的基本概念

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节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

一些概念类似于祖辈关系；
起始结点称为根节点，也就是图中的A；
树可以分为很多种子树，子树部分可以也有自己的根节点；
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树是递归定义的。

树的表示

对于树来说，结构比较复杂，存储起来比较困难；既要保存数据，又要保证节点与节点之间的联系；在实际中，有这几种表示方法：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

这里介绍其中的一种：孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

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二叉树

概念

二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多可以有两个子节点。且这两个节点分别称之为左子树和右子树（左孩子和右孩子）；节点也可以没有子节点和只有一个子节点；
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二叉树是有左右之分的，是一种有序树；

特殊情况：
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特殊二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
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性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n2＝ n0＋1.

看下面一道例题：
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堆

二叉树的顺序结构

一般的二叉树，是不适合用数组的存储结构来表示的，只有完全二叉树这种连续性的树结构才适合，在现实中，堆就是用这种结构来存储的。
注意：这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
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堆的概念

堆其实就是一颗完全二叉树，除最后一层的叶节点，其他层的节点全是满的。堆又分为大堆和小堆。在小堆中，对于任意节点i，父节点的值小于等于子节点的值；在大堆中，对于任意节点i，父节点的值大于等于子节点的值。实际中，堆还是数组，只是存储的逻辑顺序是完全二叉树的从上到下的顺序。

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堆的实现

这是堆结构

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a; //存储的数组int size; //存储的大小int capacity; //数组的大小
}HP;

初始化

void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

将数组初始化为空，存储量和容量都设为0即可；

数组初始化为堆

有时我们会将一个数组变成堆的存储结构；

void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n)
{assert(php);assert(a);//先将堆的数组创建空间php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (php->a == NULL){perror("HeapInit Fail");exit(-1);}php->capacity = php->size = n;//复制过去memcpy(php->a, a,sizeof(HPDataType)* n);//建堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(php->a, i);//向上调整}
}

向上调整是孩子可能会变化为父亲，所以从第1个下标开始，而不是第0个；

向上调整

这里先说一下父亲与孩子下标的关系：
在这里插入图片描述

由于堆的概念，当我们插入一个数据进去或者想将数组变化为数组时，需要对这个存储的数据进行调整；而我们调整的逻辑，就是根据堆的结构去调整的。
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void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{assert(a);//父亲节点HPDataType parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//孩子节点的值比父亲节点的值小就交换if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

利用循环来进行调整，这种调整，前提是前面的结构是堆，时间复杂度为O（logN）；

向下调整

有向上调整，自然有向下调整，对于堆顶的值的插入，就需要进行向下调整。

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{assert(a);HPDataType child = parent * 2 + 1;while (child < n){//判断左右孩子大小if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}}

这里以左孩子为主，当右孩子比左孩子大时，就将右孩子与父亲节点进行比较；

插入

我们会在数组的size的后面进行插入，也就是堆底；

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//满扩容if (php->capacity == php->size){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("Realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

删除

我们删除的是堆顶的数据，如果按常规想法，删除堆顶数据，然后进行移动，可不可行呢？
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显然是不行的，解决方法是先将最后一个数据与堆顶数据交换，然后对交换后的堆顶值进行向下调整。因为调换删除后，除了堆顶，下面的数据都满足堆的条件。
在这里插入图片描述

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));//堆顶与删除数据交换Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//删除php->size--;//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);}

打印、摧毁、判空、获取堆顶数据

//打印
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}
//摧毁
void HeapDestory(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

验证

接下来就来进行验证
先验证数组初始化为堆：

int main()
{int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };HP heap;HeapInitArray(&heap, a, 6);HeapPrint(&heap);return 0
}

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接着依次验证插入删除和获取堆顶数据：

int main()
{HeapInit(&heap);for (int i = 0; i < 6; i++){HeapPush(&heap, a[i]);}HeapPrint(&heap);HeapPop(&heap);HeapPrint(&heap);printf("%d", HeapTop(&heap));HeapDestory(&heap);return 0;
}

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堆的应用

接着说堆比较常用的两个应用，堆排序和TopK问题。

堆排序

第一种方法，我们的思路是，先建立一个堆结构，然后利用堆的删除思想进行排序。

//小堆
void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < n; i++){HeapPush(&hp, a[i]);}//利用堆删除原理来进行排序int i = 0;while (!HeapEmpty(&hp)){a[i++] = HeapTop(&hp);HeapPop(&hp);}HeapDestory(&hp);
}
int main()
{int a[] = { 2,3,5,7,4,6,8 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;
}

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这种方法，小堆对应的是升序；利用堆顶是最小的，然后对它取值后删除的原理进行排序，时间复杂度为O(N* logN * N);

还有一种方法，先对数组进行建堆，将堆顶与最后一个数据进行替换，以升序建大堆为例，最大的值与堆底替换后，那么最大的值就放在了最后的空间里了，再对数组长度做限制，那就可以完成排序了；

//小堆
void HeapSort(int* a, int n)
{//升序：大堆    降序：小堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}int main()
{int a[] = { 2,3,5,7,4,6,8 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;
}

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时间复杂度O(N)=N*logN
显然下面方法排序的更快。

TopK问题

即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

void PrintTopk(const char* filename, int k)
{//建堆FILE* fout = fopen(filename, "r");if (fout == NULL){perror("fout fail");exit(-1);}int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minheap == NULL){perror("minheap fail");exit(-1);}//数据输入for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);}//建堆/*for (int i = 1; i < k; i++){AdjustUp(minheap, i);}*/for (int i = (k - 1-1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(minheap, k, i);}//交换int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x > minheap[0]){minheap[0] = x;AdjustDown(minheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d\n", minheap[i]);}fclose(fout);
}//数据创建
void CreateNDate()
{int n = 1000000;srand(time(NULL));const char* file = "data.txt";FILE* bin = fopen(file, "w");if (bin == NULL){perror("FILE Fail");exit(-1);}for (int i = 0; i < n; i++){int x = (rand() + i) % 1000000;fprintf(bin, "%d\n", x);}fclose(bin);}int main()
{//CreateNDate();PrintTopk("data.txt", 5);return 0;
}

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先利用随机数创建一个数据文件，然后先将k个数据存储进数组中，接着建堆，最后将n-k个数据与堆顶进行比较，大于堆顶就进堆；

这里有两种建堆方法，一种是向上调整的建堆，另一种是向下调整的建堆；

向上调整的建堆：
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向下调整的建堆：
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时间复杂度T(N)=N;

从简单的角度来看，向上调整时，堆底的最底层数据几乎是堆的一半，都需要向上调整；而向下调整，堆顶只有一个，相比之下，向下调整肯定所用时间比较少。

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