给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7] 输出：1
>>思路和分析
明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”
子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标 i 的递增子序列长度，其实和 i 之前的下标 j 的子序列长度有关系
>>动规五部曲
1.dp[i]的定义
- dp[i]表示 i 之前包括 i 的以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
2.状态转移方程
- if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
注意：不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是要取 dp[j] + 1的最大值
3.dp[i] 的初始化
- 每一个i,对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1
4.确定遍历顺序
- dp[i] 是 由 0 到 i-1 各个位置的最长递增子序列 推导出来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历
- j 其实就是遍历 0 到 i-1，那么是从前向后，还是从后到前都可以，只要是 0 到 i-1 的元素都遍历了就可以，所以习惯从前向后遍历
遍历 i 的循环在外层，遍历 j 则在内层，代码如下：
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}5.举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {if (nums.size() <= 1) return nums.size();vector<int> dp(nums.size(), 1);int result = 0;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列}return result;}
};- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n)
参考和推荐文章、视频：
代码随想录 (programmercarl.com) 动态规划之子序列问题，元素不连续！| LeetCode：300.最长递增子序列_哔哩哔哩_bilibili
来自代码随想录的课堂截图：
