[swift刷题模板] 树状数组(BIT/FenwickTree)-编程知识

[swift刷题模板] 树状数组(BIT/FenwickTree)

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一、算法&数据结构

1. 描述

[python刷题模板] 树状数组

在这里插入图片描述

二、模板代码

1. 单点赋值(增加)，区间求和(PURQ)

例题: 307. 区域和检索 - 数组可修改

class BIT {var c: [Int]var n: Int init(_ n: Int){c = Array(repeating:0, count: n + 1)self.n = n }func add(_ i: Int, _ v: Int){var i = i while i <= n {c[i] += v i += i & -i }}func sum(_ i: Int) -> Int {var i = i var s = 0 while i > 0 {s += c[i] i &= i - 1}return s}
}class NumArray {let tree: BIT var nums: [Int]init(_ nums: [Int]) {        tree = BIT(nums.count + 1)self.nums = nums for (i, v) in nums.enumerated() {tree.add(i + 1, v)}} func update(_ index: Int, _ val: Int) {tree.add(index+1, val - nums[index])nums[index] = val}func sumRange(_ left: Int, _ right: Int) -> Int {return tree.sum(right + 1) - tree.sum(left)        }
}

以下待施工

2. 区间更新，单点询值（RUPQ）

例题: 1589. 所有排列中的最大和
这题其实应该用差分数组，可以省一层log。思想就是树状数组的IUPQ模型。

树状数组经典案例，要用差分数组理解：
这个实际上是用树状数组维护原数组的差分数组c[i]=a[i]-a[i-1]
求原数组的值a[i]实际上是差分数组的前缀sum(c[0]…c[i]),所以get a[i]可以用sum c[i]表示,
而原数组a区间[x,y]更新+v，产生的效果是:x位置比x-1位置大了v,y+1位置比y小了v;
对差分数组c来说,产生变化的就是c[x]增加了v，c[y+1]减小了v,因为c数组代表的是a中每个数比前一个数的差。

sum[i]代替get[i],单点求值
两步add(l,v)和add(r+1,-v),区间更新

3.区间更新，区间求和(RURQ)

题目: P3372 【模板】线段树 1

记sigma(r，i)表示r数组的前i项和。
我们知道，在区间求和的BIT中，实际维护了原数组a的差分数组d。
于是有a[n] = d[1]+d[2]+…+d[n]
观察式子：
a[1]+a[2]+…+a[n]
= (d[1]) + (d[1]+d[2]) + … + (d[1]+d[2]+…+d[n])
= n * d[1] + (n-1) * d[2] +… +d[n]
= n * (d[1]+d[2]+…+d[n]) - (0 * d[1]+1 * d[2]+…+(n-1) * d[n]) (式子①)
维护一个数组d2[n]，其中d2[i] = (i-1)*d[i]
每当修改c的时候，就同步修改一下d2，这样复杂度就不会改变

那么 sigma(a,n) = 式子①=n*sigma(d,n) - sigma(d2,n)