343. 整数拆分

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题目描述：
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1：
输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

思路：

• 思路就是把整数拆分成两数之和，三数以上可以不用管，因为三数以上其实就是两数拆分的，我们就用两个数来做题，分别取第一个数和第一个数的dp之间的最大值，以及第二个数和第二个数dp之间的最值，然后相乘就是当前组的最大值，最后不断循环和dp[i]比较取最值即可。
• 动态规划五部曲：
  1. 分析dp数组含义：dp[ i ]数组代表下标为i的整数拆分后元素乘积的的最大值
  2. 分析递推公式： dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j], i - j) * max(dp[j], j));
  3. dp数组初始化：因为我们拆分是从1开始拆分的那么下标0可以不用管，把下标1赋值为1，2也赋值为1，因为2只能拆分为1+1.
  4. 遍历顺序：显然是从前往后遍历，我们遍历的时候从下标i = 3开始，内层循环是去拆分i，比如3从1开始拆分为1和2，但是这里上界其实到 i / 2就可以了，多了就重复了。
  5. 推导数组结果：

代码实现：

int integerBreak(int n) {/*dp[n] = max(dp[1]dp[n - 1],dp[2]dp[n - 2]..., dp[n / 2]dp[n - n / 2]);即：dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j], i - j) * max(dp[j], j));*/vector<int>dp(n + 1, 0);dp[1] = 1, dp[2] = 1;int left = 0, right = 0;for (int i = 3; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {left = max(j, dp[j]);right = max(i - j, dp[i - j]);dp[i] = max(left * right, dp[i]);}}return dp[n];}

• 这里left取最值那一步是可以省略的，为什么？
  • 因为代码实现方法是对j和i- j同时判断是否需要拆分，但是就算 j 它再怎么拆也是拆分成1 - i之间的某个元素再加上另外一个数或一组数（省去left取最值写法其实把这一个数或一组数包到dp[i - j]里了），所以，取到最值的时候，j 一定是1- i之间的某个值，然后dp序列是递增的，那么最值一定不在后 i / 2 里（随着基数增大），所以 j 的上界可以是 i / 2。
  • 数学证明如下（节选自力扣题解的某位同学回答）：
    • 因为j * dp[i - j]包含了dp[j] * dp[i - j]，这是可以证明的： 对j最优拆分：j = a1 + a2 +…+an; 对i - j 最优拆分：i - j = b1 + b2 +…+bn; 所以有 dp[j] = a1 * a2 … an; dp[i - j] = b1 * b2 *… bn; dp[i] * dp[i - j] = (a1 *a2 *…an) * (b1 * b2 … bn) = a1 * (a2 * … * an * b1 * b2 … bn) 令 k = a1，必有i - k = a2 + … + an + b1 + b2 +…+ bn(这就是对 i - k 的一种拆分) 也就是说如果以上这种对i - k的一种拆分是最优的，那么必有dp[j] * dp[i - j] = k * dp[i - k] 所以此时j * dp[i - j]包含dp[j] * dp[i - j]； 如果以上这种对i - k的拆分不是最优的，那这种拆分方案虽不会被j * dp[i - j]包含但也不会是答案；

96.不同的二叉搜索树

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题目描述：
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

思路：

• 我的思路是这样的，1到n的每个数字都可以作为根节点，那么外层for循环还是老套度去求dp数组，内层for循环去决定哪个数子作为根节点，然后将左右节点的dp值乘起来，然后不断加到dp[i]上。
• 动态规划五部曲：
  1. 分析dp数组含义：dp[ i ]数组代表下标为i的整数的二叉树种类
  2. 分析递推公式： dp[n] = dp[n - 1] * dp[0] + dp[n - 2] * dp[1] + ... + dp[1]*dp[n - 2] + dp[0]* dp[n - 1]
  3. dp数组初始化：因为我们左子树可以是0个节点，而且我们要做乘法，所以下标0赋值为1，把下标1也赋值为1，遍历的时候下标从2开始
  4. 遍历顺序：显然是从前往后遍历，我们遍历的时候从下标 i = 2开始，那么外层for循环还是老套度去求dp数组，内层for循环去决定哪个数子作为根节点，然后将左右子树节点数的dp值乘起来，然后不断加到dp[i]上。
  5. 推导数组结果：1 1 2 5 14…

代码实现

int numTrees(int n) {if (n < 2) return 1;//dp[n] = dp[n - 1] * dp[0] + dp[n - 2] * dp[1] + ... + dp[1]*dp[n - 2] + dp[0]* dp[n - 1]vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1, dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= i; ++j) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}