假设，你有志成为我空军某航空旅歼-20飞行员，但要想开好飞机，那就得锻炼身体，好好学习，因此，你刻苦学习专业知识，并梦想有一天，能真正演练编队飞行技术和空中作战战术，下面，未来的飞行员同志，在此之前，你需要学习以下内容。首先注意，这里是 姿态表示法，而不是 位置表示法，平面位置表示法有二维笛卡尔坐标系，空间位置表示法有三维笛卡尔坐标系，这个很容易理解。

一、2D空间姿态表示法

看完这篇《旋转与复数》，就知道为什么复数相乘，能表示平面向量的旋转了，总结：
$$\begin{gathered} z_1=a_1+b_{1}i \\ =r_{1}cos{\theta }_1+i{r}_{1}sin{\theta }_1 \\ =r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1) \\ =r_1{e}^{i{\theta }_1} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} z_2=a_2+b_{2}i \\ =r_{2}cos{\theta }_2+i{r}_{2}sin{\theta }_2 \\ =r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2) \\ =r_2{e}^{i{\theta }_2} \end{gathered}$$
有
$$z_1\ast z_2=r_1{r}_2{e}^{i(\theta 1+{\theta }_2)}$$
所以，两个复平面的向量相乘，代表的含义是：长度相乘，角度相加，即“长乘角加”，这里的角度是有正负的。根据上述公式可以看出：
若$z_2$向量的$r_2=1$，也就是说$z_2$是一个单位长度的向量，就只有角度相加
若$z_2$向量的${\theta }_2={\theta }_1$，也就是说$z_2$向量的方向和$z_1$一样，就只有长度相乘
所以复平面具备美妙的构造，有着非常美妙的性质，以后看到复平面的向量计算，就会更加直观了，但你并不满足只在平面国成为一名飞行员，你想在三维的世界翱翔，有了这个基础，可以开始挑战高难度。
以前对构造和性质这两个词理解不深刻，后面发现实际应用中，很多数学公式就是为了满足某种性质而特意构造出来的，俗称先射箭再画靶，比如损失函数，完全没有推理可言，损失函数不是推导出来的，就是为了满足某种性质从构造出来的。

二、3D空间姿态表示法

2.1 三个数表示空间姿态

这是最自然的方式，一开始我也是这么想的，我想你一开始也会这么想，令人欣慰的是，大数学家欧拉也是这么想滴。欧拉角总共有三个角，其英文分别是pitch，yaw，roll，翻译为俯仰角，偏航角，翻滚角，动画效果展示请看《欧拉角pitch、yaw，roll的理解》，有了这个理解，就可以开始了。

问题

这种表示法真的没问题吗？有，欧拉角表示法存在万向死锁的问题，实在不理解，上淘宝搜索，太空环玩具，玩一玩就理解了。
拿下面这张图举例，就会出现死锁，保持绿色环相对位置不动，转动黄色环和转动粉色环，效果都是俯仰。归位，保持黄色和粉色环和不动，转动绿色环，效果是偏航。“莫名其妙”地少了一个方向的旋转！！！

【无伤理解欧拉角中的“万向死锁”现象 - bilibili】

2.2 九个数表示空间姿态

这九个数组成了一个矩阵，${\hat{X}}_B$表示物体B在其自身坐标系X方向的主轴向量，第一列该向量在世界坐标系上三个方向上的投影，这里的世界坐标系就是指A所处的坐标系。

$$\left[\begin{array}{ccc}{\hat{X}}_B\cdot {\hat{X}}_A& {\hat{Y}}_B\cdot {\hat{X}}_A& {\hat{Z}}_B\cdot {\hat{X}}_A\\ {\hat{X}}_B\cdot {\hat{Y}}_A& {\hat{Y}}_B\cdot {\hat{Y}}_A& {\hat{Z}}_B\cdot {\hat{Y}}_A\\ {\hat{X}}_B\cdot {\hat{Z}}_A& {\hat{Y}}_B\cdot {\hat{Z}}_A& {\hat{Z}}_B\cdot {\hat{Z}}_A\end{array}\right]$$

【【机械臂运动学教程】机械臂+旋转矩阵+变换矩阵+DH+逆解+轨迹规划+机器人+教程】—— 台湾大学

问题

但这种方式也是有问题的，会有误差累计问题

2.3 四个数表示空间姿态

3Blue1Brown是最受欢迎的数学区科普UP，可以按顺序观看他发的这两个视频：【四元数的可视化 - bilibili】，【四元数和三维转动，可互动的探索式视频（请看链接）】，但后面的视频并没说为什么要右乘逆矩阵，可以看评论区用户冰月旋律的留言：“$q\ast p\ast q^{-1}$ 得到什么? 2次同样的旋转与1轮抵消的缩放”，及此问答 Why does rotation by a quaternion require multiplying two times?，稍后会证明并解释。

总结如下：
(1) 四元数计算规则
规则记忆方式，$i\to j\to k\to i\to j......$，两两一组计算得到下一个，若顺序相反，就要带负号。
这里$v_1^{\to }\ast v_2^{\to }$是叉乘(外积)

(2) $q\cdot p$，前面的 $q$ 视作一个作用于点 $p$ 的 $function$ ，代表对$p$进行拉伸与旋转。
(3) 1D-3D球极投影截图：
(4)对实部为0的一个虚四元数 $p$ ，进行旋转，需要左乘 $q$ 和右乘 $q^{-1}$，即 $p^{{}^{\prime }}=qp{q}^{-1}$ 才是一个完整的旋转操作。
下面是证明，首先复习共轭复数(conjugate complex number)，$a+bi$ 与 $a-bi$ 是一对共轭复数，它们实部相同，虚部相反，四元数与之类似，有四元数 $q$：
$$q=w+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$$
对应的共轭复数为
$$q^{\ast }=w-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}$$
易得
$$\begin{gathered} q{q}^{\ast }=q^{\ast }q \\ =(w^2-wx\mathbf{i}-wy\mathbf{j}-wz\mathbf{k}) \\ +(wx\mathbf{i}+x^2-xy\mathbf{k}+xz\mathbf{j}) \\ +(wy\mathbf{j}+xy\mathbf{k}+y^2-yz\mathbf{i}) \\ +(wz\mathbf{k}-xz\mathbf{j}+yz\mathbf{i}+z^2) \\ =w^2+x^2+y^2+z^2 \end{gathered}$$
用矩阵的观点来看计算会更快，对结果中的所有元素求和，得到的依旧是$w^2+x^2+y^2+z^2$
$$\left[\begin{array}{c}w\\ xi\\ yj\\ zk\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}w,-xi,-yj,-zk\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{w}^2,-wx\mathbf{i},-wy\mathbf{j},-wz\mathbf{k}\\ wx\mathbf{i},x^2,-xy\mathbf{k},xz\mathbf{j}\\ wy\mathbf{j},xy\mathbf{k},y^2,-yz\mathbf{i}\\ wz\mathbf{k},-xz\mathbf{j},yz\mathbf{i},z^2\end{array}\right]$$

模长为
$$||q||=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$$
且有
$$||q_1{q}_2||=||q_1||\cdot ||q_2||$$
在矩阵中，一个矩阵的逆矩阵，定义为可以得到单位矩阵的行(列)变换矩阵
而四元数中，一个四元数的逆，定义为一个可以通过四元数乘法得到1+0i+0j+0k的四元数
也就是说
$$\begin{gathered} q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{||q|{|}^2} \\ q\cdot q^{-1}=q^{-1}\cdot q=1 \end{gathered}$$
现在开始解释，为什么要左乘 $p$ 和右乘 $p^{-1}$ ，首先，我们只想旋转方向，而不想伸缩长度，根据上面的公式
$$\begin{gathered} ||qp{q}^{-1}|| \\ =||qp||\cdot ||q^{-1}|| \\ =\frac{||q||\cdot ||p||\cdot ||q^{\ast }||}{||q|{|}^2} \\ =||p|| \end{gathered}$$
那么确认一点，这样变换不会影响旋转后的点$p^{{}^{\prime }}$的模长，接下来要验证，$p^{{}^{\prime }}$的实部依旧为0，还是一个虚四元数，这其实都不用验证了，$p$的实部为0,0乘任何数都会为0。然后要验证的是，$qp$与$p{q}^{-1}$旋转的方向是相同的，其实这个也容易验证，根据之前的记忆法则$i\to j\to k\to i\to j$，$p{q}^{-1}$相当于箭头从左到右的运算变成了从右到左，这样会给结果带来负号，但是$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{||q|{|}^2}$，且$q^{\ast }=w-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}$的虚部都是负数，相当于给带上负号的结果进行了负负得正，因此$q{p}^{-1}$旋转的方向与$qp$是相同的，这也就解释了为什么会有半角出现，转两次半角等于旋转角度完全到位，证毕。

看这个视频的时候，我感觉，三维复数已经足够表示旋转了，但作者说三维复数实际上无法定义一个有效的计算规则，这个我就不清楚了，视频还说，是哈密顿(Hamiton)发明的vector这个说法，vector之前在数学和物理中从未出现过，用来称呼只有ijk分量而没有标量部分的四元数，查阅Wiki百科发现，哈密顿还有其它贡献

He coined the neologisms “tensor” and “scalar”, and was the first to use the word “vector” in the modern sense. 他创造了“张量”和“标量”这两个新词，并且是第一个使用现代意义上的“向量”一词的人 —— William Rowan Hamilton - Wiki

我还记得我在高中数学课本上看到过四元数的内容，于是去找了找教材，只翻到了在新人教B版数学必修第四册的目录里有，内容就没找到了，所以高中数学教科书的编者早早的跑在前头等着，更令人破防的是，高中数学教科书的很多选修部分，其实涵盖了很多多大学内容，这令我感到一阵脸红，我的水平只有高中？谁道人生无再少，门前流水尚能西，修将白发唱黄鸡。《中小学电子版教材，看这12个网站就够了》- 进击的金牛的文章 - 知乎

结语

《上海交通大学学生生存手册》里有两句话，我深以为然：“我无意全盘否定同学们吃苦耐劳的精神，但这份精神充其量只能称为悲壮。我们耗费了大量的时间和精力掌握的那些考点、技巧，在真正的知识殿堂根本登不上大雅之堂。哪怕我们特征值求的再熟练，积分积得再复杂，中国的载人飞船也不会因此而顺利上天”，“学习最需要的，不是悲壮的毅力，而是对无限未知的渴求”。塔台期盼你早日单飞，平安归来。

Reference

[1] 视觉SLAM十四讲：从理论到实践（第2版）