文章目录
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一、什么是树
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树的定义
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树的种类
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树的深度
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树的基本术语
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二、满二叉树
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定义
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满二叉树的特点
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三、完全二叉树
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定义
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特点
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四、二叉树的性质
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五、二叉树的存储结构
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顺序存储结构
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链式存储结构
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六、二叉树的基本操作
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七、二叉树的创建
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八、二叉树的遍历
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前序遍历
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中序遍历
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后序遍历
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九、二叉树的销毁
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十、二叉树中节点的查找
欢迎阅读新一期的c语言数据结构模块————二叉树
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一、什么是树
1.树的定义
树是n（n>=0）个结点的有限集。当n = 0时，称为空树。在任意一棵非空树中应满足：
- 有且仅有一个特定的称为根的结点。
- 当n>1时，其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
2.树的种类
树的种类可以分为以下几种
- 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树；
- 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
- 满二叉树：叶节点除外的所有节点均含有两个子树的树被称为满二叉树；
- 完全二叉树：除最后一层外，所有层都是满节点，且最后一层缺右边连续节点的二叉树称为完全二叉树；
- 哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树。
3.树的深度
定义一棵树的根结点层次为1，其他结点的层次是其父节点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。例如：
如图，图中的树的深度为：3
4.树的基本术语
- 结点的度：结点拥有的子树数目
- 叶子（终端）结点：度为0的结点
- 分支（非终端）结点：度不为0的结点
- 树的度：树的各结点度的最大值
- 内部结点：除根结点之外的分支结点
- 双亲与孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；该结点称为孩子的双亲
- 兄弟：属于同一双亲的孩子
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点
- 结点的子孙：该结点为根的子树中的任一结点
- 结点的层次：表示该结点在树中的相对位置。根为第一层，其他的结点依次下推；若
- 结点在第L层上，则其孩子在第L+1层上
- 兄弟节点：双亲在同一层的结点互为兄弟节点
- 树的深（高）度：树中结点的最大层次
- 有序树：树中各结点的子树从左至右是有次序的，不能互换。否则，称为无序树
- 路径长度：从树中某结点Ni出发，能够“自上而下”通过树中结点到达结点Nj，则称Ni到Nj存在
- 一条路径，路径长度等于这两个结点之间的分支数
- 树的路径长度：从根到每个结点的路径长度之和。
- 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合
由于二叉树的使用在数据结构中更加广泛，所以我们以二叉树为主来进行讲解，下面介绍一下关于二叉树的基本知识。
二、满二叉树
定义：
二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子节点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
如图为一颗满二叉树
满二叉树的特点
满二叉树的特点有：
- 叶子节点只能出现在最下一层。
- 非叶子结点的度一定是2。
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
- 设树的深度为i，则总结点数为 2^i -1
- 满二叉树是一种特殊的完全二叉树
- 若有双亲，则其双亲为i / 2，若有左孩子，则左孩子为2i ，若有右孩子，则右孩子为2i + 1 。
三、完全二叉树
定义
对二叉树节点由左至右由上至下的编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
如图为一颗完全二叉树
特点
- 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
- 最下层的叶子结点集中在树的左部。
- 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
- 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
- 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
- 满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
四、二叉树的性质
- 二叉树的第i层上至多有2^(i-1) (i≥1)个结点
- 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k≥1)
- 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为N0，度为2的结点数为N2，则N0=N2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2(n)]+1
- 一棵具有n个结点的完全二叉树（又称顺序二叉树）对其结点按层从上至下（每层从左至右）进行1-n的编号，则对任一结点i（1≤i≤n）有：
- 若i＞1，则i的双亲是[i/2]；若i=1，则i是根，无双亲。
- 若2i≤n，则i的左孩子是2i；否则，i无左孩子
- 若2i+1≤n，则i的右孩子是2i+1；否则，i无右孩子
五、二叉树的储存结构
二叉树的储存结构分为顺序存储结构和链式存储结构
顺序存储结构
二叉树的顺序存储是指用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i ii的结点元素存储在一维数组下标为 i − 1的分量中。
依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系，这样既能最大可能地节省存储空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。
但对于一般的二叉树，为了让数组下标能反映二叉树中结点之间的逻辑关系，只能添加一些并不存在的空结点，让其每个结点与完全二叉树上的结点相对照，再存储到一维数组的相应分量中。然而，在最坏情况下，一个高度为h 且只有h 个结点的单支树却需要占据近2h-1个存储单元。二叉树的顺序存储结构如图所示，其中0表示并不存在的空结点。
链式存储结构
由于顺序储存结构非常不便，所以我们通常采用链式存储结构实现二叉树。链式存储结构通过开辟一块空间（节点），通过指针储存左孩子、右孩子节点以及数据。
由于顺序结构操作起来并不方便，所以我们通常都以链式存储结构通过递归来实现二叉树，定义如下
typedef struct BinaryTree
{int val;struct BinaryTree *left;struct BinaryTree *right;
}BT;六、二叉树的基本操作
- CreateTree() ：创建二叉树
- PreOrder(BT* root)：二叉树的前序遍历
- InOrder(BT* root)： 二叉树的中序遍历
- BackOrder(BT* root)： 二叉树的后序遍历
- DestoryTree(BT* root)：销毁二叉树
- FindTree(BT* root, int x)：查找二叉树中值为x的节点
七、二叉树的创建
如下是对二叉树进行创建的算法
BTNode* CreatNode(int x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}node->val = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}八、二叉树的遍历
前序遍历
二叉树的前序遍历顺序为根 - 左 - 右
即先访问根节点
然后访问其左孩子节点
最后访问其右孩子节点
例如上图，前序遍历顺序为：A -> B -> D -> E -> C -> F
算法如下
void PreOrder(BT* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d",root->val);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}中序遍历
二叉树的前序遍历顺序为左 - 根 - 右
即先访问左孩子节点
然后访问其根节点
最后访问其右孩子节点
例如上图，前序遍历顺序为：D -> B -> E -> A -> F -> C
算法如下
void InOrder(BT* root)
{if (root == NULL){return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->val);InOrder(root->right);
}后序遍历
二叉树的前序遍历顺序为左 - 右 - 根
即先访问左孩子节点
然后访问其根节点
最后访问其右孩子节点
例如上图，前序遍历顺序为：D -> E -> B -> F -> C -> A
算法如下
void BackOrder(BT* root)
{if (root == NULL){return;}BackOrder(root->left);BackOrder(root->right);printf("%d ", root->val);
}九、二叉树的销毁
二叉树的销毁同样通过递归来实现：
void DestoryTree(BT* root)
{if (root == NULL){return;}DestoryTree(root->left);DestoryTree(root->right);free(root);
}
十、二叉树中节点的查找
BT* FindTree(BT* root, int x)
{if (root == NULL){return;}if (root->val == x)return root;FindTree(root->left, x);FindTree(root->right, x);return NULL;
}
