关键路径问题
名人说：莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。—— 苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》
本篇笔记整理：Code_流苏(CSDN)（一个喜欢古诗词和编程的Coder😊）
目录
- 关键路径问题
- 〇、概念说明
- 1、AOE网
- 2、关键路径
- 一、问题描述
- 二、问题求解
- ①求事件v最早发生的时间 ve(i)
- ②求事件v最晚发生的时间 vl(i)
- ③求活动a最早开始时间e(i)
- ④求活动a最迟开始时间l(i)
- ⑤求时间余量（d(i)）
- ⑥关键活动
- ⑦关键路径
- 三、扩展解法
以下内容，仅供学习交流，且仅在CSDN平台发布，未经授权禁止二次转发。
〇、概念说明
1、AOE网
在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销（如完成活动所需的时间），称之为用边表示活动的网络，简称AOE网。
在AOE网中仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点），它表示整个工程的开始；也仅存在一个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点），它表示整个工程的结束。
2、关键路径
在AOE网中，有些活动是可以并行进行的。从源点到汇点的有向路径可能有多条，并且这些路径长度可能不同。完成不同路径上的活动所需的时间虽然不同，但是只有所有路径上的活动都已完成，整个工程才能算结束。因此，从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动。
（以上概念参考自王道数据结构）
在了解了这些基础概念之后，我们来看一下下面的问题，加深一下理解。
一、问题描述
以2022统考真题为例
【2022统考真题】下面是一个有10个活动的AOE图，时间余量最大的活动是（）
- A.c
- B.g（✔）
- C.h
- D.j
二、问题求解
该类问题的步骤简要来说为以下五步：
- 1️⃣求事件v最早发生的时间 ve(i) 【正向、事件、顶点】
- 2️⃣求事件v最晚发生的时间 vl(i) 【逆向、事件、顶点】
- 3️⃣求活动a最早开始时间e(i) 【正向、活动、有向边】
- 4️⃣求活动a最迟开始时间l(i) 【逆向、活动、有向边】
- 5️⃣求时间余量d(i)【 l(i) - e(i) 】
其中
- 正向表示：从源点到汇点，正向推导
- 逆向表示：从汇点到源点，逆向推导
- 事件表示：v
- 活动表示：a
- 顶点表示：图中各个顶点
- 有向边表示：图中各个箭头有向边
✔ 补充：求时间余量其实就是求4和3的差值（用d(i)来表示），这个差值也就是该活动完成的时间余量。
如果时间余量为0，说明该活动是关键活动，没有缓冲延迟的时间，必须要如期完成。
接下来对以上五个步骤从上到下依次展开计算，具体如下：
①求事件v最早发生的时间 ve(i)
求所有事件的最早发生时间ve[i]，按照拓扑排序序列，依次求各个顶点的ve；
设置ve[1]=0，ve[i]=Max {ve[j]+weight(vj,vi)}，vj为vi的任意前驱，weight则表示<vj,vi>上的权值。
根据上面的AOE图，可得其拓扑排序序列为：1、2、3、4、5、6。
从源点到汇点顺着来推导事件（顶点）的最早发生事件ve。
ve(1) = 0
由图可以得出
ve(2) = 0+2 = 1
ve(3) = Max{ve(2)+1，ve(1)+5} = Max{3,5} = 5
…
依次类推，可得表格中所示数据：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ve(i) | 0 | 2 | 5 | 8 | 9 | 12 |
②求事件v最晚发生的时间 vl(i)
求所有事件的最迟发生时间vl[i]，按照逆拓扑排序序列，依次求各个顶点的vl；设置vl[汇点]=ve[汇点]，vl[i]=Min {vl[j]-weight(vi,vj)}，vi为vj的任意前驱。
根据①中所得的拓扑排序，可得逆拓扑排序序列为：6、5、4、3、2、1
从汇点到源点逆着来推导事件(顶点)的最晚发生时间vl。
vl(6) = ve(6) = 12
vl(5) = 12 - 1 = 11
vl(4) = Min {vl(5)-1,vl(6)-4}= Min{10,8} = 8
…
依次类推，最终可得：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| vl(i) | 0 | 4 | 5 | 8 | 11 | 12 |
③求活动a最早开始时间e(i)
求所有活动的最早开始时间e[i]，若边<vi,vj>表示活动i，则有e[j]=ve[i]。
从源点到汇点推导活动（有向边）的最早发生时间e。
e(a) = ve(1) = 0
e(b) = ve(1) = 0
e(c ) = ve(2) = 2
…
依次类推，最终可得：
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e(i) | 0 | 0 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 8 | 8 | 9 |
④求活动a最迟开始时间l(i)
求所有活动的最迟开始时间l，若边<vi,vj>表示活动i，则有l[i]=vl[j]-weight(vi,vj)。
从汇点到源点推导活动（有向边）的最晚发生时间l。
l(j) = vl(6) - 1 = 12 - 1 = 11
l(i) = vl(6) - 4 = 12 - 8 = 4
l(h) = vl(5) - 1 = 11 - 1 = 10
…
依次类推，最终可得l的值如下表：
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| l(i) | 2 | 0 | 4 | 5 | 5 | 7 | 11 | 10 | 8 | 11 |
⑤求时间余量（d(i)）
最后，让l(i)-e(i)得到d(i)
d(a) = l(a) - e(a) = 2 - 0 = 2
d(b) = l(b) - e(b) = 0 - 0 = 0
…
依次类推，即可得出我们要求的时间余量d：
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| d(i) | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 2 | 6 | 2 | 0 | 2 |
整体表格如下：
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e(i) | 0 | 0 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 8 | 8 | 9 |
| l(i) | 2 | 0 | 4 | 5 | 5 | 7 | 11 | 10 | 8 | 11 |
| d(i) | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 2 | 6 | 2 | 0 | 2 |
根据表格中所得，时间余量最大的活动是 g，余量为6。
补充一下关键活动和关键路径，具体内容如下：
⑥关键活动
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e(i) | 0 | 0 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 8 | 8 | 9 |
| l(i) | 2 | 0 | 4 | 5 | 5 | 7 | 11 | 10 | 8 | 11 |
| d(i) | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 2 | 6 | 2 | 0 | 2 |
根据关键活动的定义，可得关键活动有b、e、i，这些活动都是无法延迟进行的活动，必须如期进行。
⑦关键路径
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e(i) | 0 | 0 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 8 | 8 | 9 |
| l(i) | 2 | 0 | 4 | 5 | 5 | 7 | 11 | 10 | 8 | 11 |
| d(i) | 2 | 0 | 2 | 3 | 0 | 2 | 6 | 2 | 0 | 2 |
根据关键活动，可以画出关键路径如下：
那么问题来了，关于上面时间余量那一块的求解，有没有其它一些简便一些的算法呢？
自然是有的（但方法不能保证百分百正确率，存在一定的技巧性），可以看看以下的一种扩展解法，但是算法思路肯定不止这一种，大家可以集思广益在评论区分享一下！
三、扩展解法
扩展解法思路参考自一位博主写的408真题篇：2022 408真题数据结构篇，个人进行了改善。
可以借助贪心算法的思想来选择。
可以先找出里面最长的几条边构造关键路径，b=5、f=4、i=4、d=3、e=3，枚举到这里就差不多了，我们发现 b=5、e=3、i=4 已经能将起点终点连通了。
假设这就是起点到终点的最长路径，下面开始看看起点到终点的最短路径 a=2、c=1、g=1，我们可以观察到反差最明显的，就是路径3 -> 6 可以分解为3->4->6，g 的时间余量明显是很大的。
但是要注意的是，这种贪心解法高效，但是正确率并非 100%。
- 如果想保证正确率，第一种解法较为妥当；
- 如果追求高效，可以从尝试一下贪心或者其它算法的求解方法。
以上就是本文的全部内容，感谢观看！
Code_流苏(CSDN)（一个喜欢古诗词和编程的Coder）
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