不同路径
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
动态规划五部曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。 - 确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个⽅向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾⼀下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有⼏条路径，dp[i][j - 1]同理。
那么很⾃然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个⽅向过来。 - dp数组的初始化
如何初始化呢，⾸先dp[i][0]⼀定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有⼀条，那么dp[0][j]也同理。
所以初始化代码为：
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
- 确定遍历顺序
这⾥要看⼀下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上⽅和左⽅推导⽽来，那么从左到右⼀
层⼀层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]⼀定是有数值的。 - 举例推导dp数组
如图所示：
代码
力扣提交代码
class Solution {public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};
总代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int uniquePaths(int m, int n)
{int dp[110][110];int i,j;for(i=0;i<m;i++)//对第一列进行初始化为1 dp[i][0]=1;for(i=0;i<n;i++)//对第一行进行初始化为1 dp[0][i]=1; for(i=1;i<m;i++){for(j=1;j<n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];// 上一行 左一列 }} return dp[m-1][n-1];
}int main()
{int m,n;scanf("m = %d, n = %d",&m,&n);printf("%d",uniquePaths(m,n) );return 0;
}
