Pytorch深度强化学习1-5：详解蒙特卡洛强化学习原理-编程知识

0 专栏介绍

本专栏重点介绍强化学习技术的数学原理，并且采用Pytorch框架对常见的强化学习算法、案例进行实现，帮助读者理解并快速上手开发。同时，辅以各种机器学习、数据处理技术，扩充人工智能的底层知识。

🚀详情：《Pytorch深度强化学习》

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1 蒙特卡洛强化学习

在Pytorch深度强化学习1-4：策略改进定理与贝尔曼最优方程详细推导中，我们介绍了贝尔曼最优方程

$\begin{cases} V_{\gamma}^{*}\left( s \right) =\underset{a\in A}{\max}\sum_{s'\in S}{P_{s\rightarrow s'}^{a}}\left[ R_{s\rightarrow s'}^{a}+\gamma V_{\gamma}^{*}\left( s' \right) \right]\\ Q_{\gamma}^{*}\left( s,a \right) =\sum_{s'\in S}{P_{s\rightarrow s'}^{a}}\left[ R_{s\rightarrow s'}^{a}+\gamma \underset{a'\in A}{\max}Q_{\gamma}^{*}\left( s',a' \right) \right]\\\end{cases}}$

然而，在现实的强化学习任务中，转移概率、奖赏函数甚至环境中存在哪些状态往往很难得知，因此有模型强化学习在实际应用中不可行。本节借助有模型学习的思想推广到更一般的免模型学习(model-free learning)中，即假设转移概率和环境状态未知，奖赏也仅是根据经验或需求设计

蒙特卡洛强化学习是免模型学习中的一种，其核心思想是使用蒙特卡洛方法来估计各个状态-动作对的值函数。通过对大量的样本进行采样，并根据它们的累积奖励来评估状态-动作对的价值，智能体可以逐步学习到最优策略。

2 策略评估原理

在有模型学习中，采用的是贝尔曼算子迭代进行策略评估，即

$Q_{\gamma}^{\pi}\left( s,a \right) =\sum_{s'\in S}{P_{s\rightarrow s'}^{a}}\left[ R_{s\rightarrow s'}^{a}+\gamma \sum_{a'\in A}{\pi \left( s',a' \right) Q_{\gamma}^{\pi}\left( s',a' \right)} \right]$

考虑到动力学特性 $P_{s\rightarrow s'}^{a}$ 和状态集合 $S$ 未知，因此上式无法计算。回归到定义

$Q_{\gamma}^{\pi}\left( s,a \right) =\mathbb{E} \left[ R_t \right] \mid_{s_t=s,a_t=a}^{}$

可以用蒙特卡洛采样来近似逼近回报期望，即

$Q_{\gamma}^{\pi}\left( s,a \right) \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{R_{t,i}}$

其中回报 $R_{t,i}=\sum\nolimits_{j=t+1}^{\infty}{\gamma ^{j-t}r_{j,i}}$ ，问题转换为如何采样这些回报。蒙特卡洛强化学习提出如下的采样方法：

设初始状态为 $s_0$ 并给定终止状态 $s_T$ ；
在 $s_0$ 下根据当前策略 $\pi \left( a|s_0 \right)$ 选择一个动作 $a_0$ ；
在 $s_0$ 、 $a_0$ 确定的条件下，环境转换到下一个状态 $s_1$ 并返回一个奖励 $r_1$ (这个过程是未知的动力学过程，由环境自身决定而不受智能体影响)；
重复上述过程直至达到终止状态 $s_T$ 。

称有序数对 $\left( s_t,a_t,r_{t+1} \right)$ 为一个步骤，重复过程中产生的序列

$\left< s_0,a_0,r_1,s_1,a_1,r_2,\cdots ,s_{T-1},a_{T-1},r_T,s_T \right>$

称为经验轨迹或幕(episode)。由于策略 $\pi$ 是概率分布，因此即使不同幕都达到了给定的终态，中间执行轨迹可能存在差异，但任意两个幕之间独立同分布于 $\pi$ 。

3 策略改进原理

蒙特卡洛强化学习中用来生成采样幕的策略称为行动策略(behavior policy)，记为 $b$ ；实际应用的待评估、待改进的策略称为目标策略(target policy)，记为 $\pi$ 。当 $\pi=b$ 时称为同轨策略方法(on-policy)，否则称为离轨策略方法(off-policy)。必须指出，用于采样的策略必须是软性策略，即对 $\forall s\in S,a\in A\left( s \right) ,b\left( a|s \right) >0$ ，若采样策略是确定性策略，则必然导致部分状态-动作对永远不会出现在幕中，造成样本缺失与误差

3.1 同轨蒙特卡洛强化学习

引入单步强化学习的 $\epsilon$ -贪心思想，这部分请参考Pytorch深度强化学习1-2：详解K摇臂赌博机模型和ϵ-贪心算法，设

$\pi =b\left( a|s \right) =\begin{cases} a^*=\mathrm{arg}\max _{a\in A}Q^{\pi}\left( s,a \right) , \text{概率}1-\epsilon +\frac{\epsilon}{|A\left( s \right) |}\\ A\left( s \right) / a^*\,\, , \text{概率}\frac{\epsilon}{|A\left( s \right) |}\\\end{cases}$

则算法流程如表所示

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3.2 离轨蒙特卡洛强化学习

同轨策略中虽然保证了采样的随机性，但导致了以下问题

引入先验误差： $\epsilon$ 是人为经验设置的，不合理的 $\epsilon$ 会为策略带来错误的先验分布；
目标策略失去确定性

因此引入离轨策略，将行动策略和目标策略分而治之。

将基于策略 $\pi$ 的回报期望展开为回报与其概率分布加权的形式

$\begin{aligned}Q^{\pi}\left( s,a \right) &=\mathbb{E} _{\pi}\left[ R \right] \mid_{s_t=s,a_t=a}^{}\\&=\sum{R\cdot P\left( r_{t+1},s_{t+1},\cdots ,s_{T-1},a_{T-1},s_T|s_t=s,a_t=a \right)}\end{aligned}$

其中概率分布为从当前步骤到幕结束所有元素的联合分布。

根据马尔科夫性，下一个时刻的状态只取决于当前状态，则

$\begin{aligned}Q^{\pi}\left( s,a \right) &=\sum{R\cdot P\left( r_{t+1},s_{t+1}|s_t=s,a_t=a \right) \pi \left( a_{t+1}|s_{t+1} \right) P\left( r_{t+2},s_{t+2}|s_{t+1},a_{t+1} \right)}\cdots \\&=\sum{R\prod_{i=t+1}^{T-1}{\pi \left( a_i|s_i \right)}P\left( r_i,s_i|s_{i-1},a_{i-1} \right) P\left( s_T|s_{T-1},a_{T-1} \right)}\\&=\sum{\prod_{i=t+1}^{T-1}{\frac{\pi \left( a_i|s_i \right)}{b\left( a_i|s_i \right)}}\left[ R\prod_{i=t+1}^{T-1}{b\left( a_i|s_i \right) P\left( r_i,s_i|s_{i-1},a_{i-1} \right) P\left( s_T|s_{T-1},a_{T-1} \right)} \right]}\\&=\sum{\left( \rho _{t+1:T-1}R \right)}\prod_{i=t+1}^{T-1}{b\left( a_i|s_i \right) P\left( r_i,s_i|s_{i-1},a_{i-1} \right) P\left( s_T|s_{T-1},a_{T-1} \right)}\\&=\mathbb{E} _b\left[ \rho _{t+1:T-1}R \right] \mid_{s_t=s,a_t=a}^{}\end{aligned}$

其中 $\rho _{t+1:T-1}=\prod\nolimits_{i=t+1}^{T-1}{{{\pi \left( a_i|s_i \right)}/{b\left( a_i|s_i \right)}}}$ 为重要性因子，关联了行动策略与目标策略。不妨取行动策略 $b$ 为目标策略 $\pi$ 的 $\epsilon$ 贪心形式进行采样，而目标策略仍保持确定性策略，具体算法流程如表所示。