一直认为泰勒展开就是泰勒级数。查度娘说不是，晕，当知识储备，重温高数。想当年，同济编的高数，每次都是95分（百分制）以上呢。

一、定义不同

泰勒级数（英语：Taylor series）是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

泰勒展开式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

二、要求不同

泰勒级数要求在被展开处无限阶可导，是函数展开成有限项的幂级数。

泰勒展开式要求被展开函数在该出n+1阶可导，满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。

三、应用不同

泰勒级数的应用体现在以下三个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

泰勒展开式的应用体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

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泰勒公式：如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

麦克劳林公式：麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

2、意义不同

泰勒公式的意义是把复杂的函数简单化,也即是化成多项式函数,泰勒公式是在任何点的展开形式。

麦克劳林公式的意义是在0点,对函数进行泰勒展开。

3、提出者不同

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。

1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。

1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。

他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。

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麦克劳林级数(Maclaurin series)是函数在x=0处的泰勒级数，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。

1、一阶麦克劳林公式：f（x）=f（0）+f′（0）x+12!f′(0)+…+1n!f(n)(0)+f(n+1)(ξ)(n+1)，其中ξ在0和x之间。麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

2、麦克劳林展式是有限项，幂级数为无限项。

3、麦克劳林展式中最后有一项余项，幂级数没有。 其中，麦克劳林展式：sinx=x-x^3/6+o(x^3),幂级数：sinx=x-x^3/6+... 我们可以粗略地理解为，幂级数后面省略号部分用一个余项代替之后，就成了麦克劳林展式了；反过来，如果麦克劳林展式中保留的项很多，也就趋于幂级数了 说明：第一点中说到的幂级数为无限项，这是一个普遍的性质，假如某个幂级数只有有限项（例如2+x+4*x^2）,应该看作无限项的特殊情况，即后面的系数全为零。