算法最小生成树-编程知识

算法选择

稠密图：朴素版普利姆算法【因为代码短】

稀疏图：克鲁斯卡尔算法【因为思路简单】

普利姆（Prim）

朴素 Prim

时间复杂度 O(n^2)

适用情况

稠密图

算法流程

集合：当前已经在连通块中的所有点

初始化距离，将所有距离初始化为正无穷
n 次迭代，因为要加入 n 个点

for(int i = 0; i < n; i ++)

找到集合外距离最近的点，赋给 t

用 t 更新其它点到集合的距离

把 t 加到集合中st[t] = true;

模板

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim() {memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有距离int res = 0;//最小生成树中所有边之和for (int i = 0;i < n;i++) {//n次迭代int t = -1;for (int j = 1;j <= n;j++) {//找集合外距离最小的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//t==-1说明现在还没有找到任何一个点t = j;//t存当前距离最小的点}if (i && dist[t] == INF)//如果不是第一个点并且dist[t]是正无穷，说明当前图是不连通的，说明不存在最小生成树return INF;if (i)//先累加，再更新，防止自环的加入res += dist[t];for (int j = 1;j <= n;j++)dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//dist表示该点到集合的距离st[t] = true;}return res;
}

例题——Prim求最小生成树

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围

1≤n≤500,

1≤m≤10^5,

图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。

输入样例

4 5

1 2 1

1 3 2

1 4 3

2 3 2

3 4 4

输出样例

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim() {memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有距离int res = 0;//最小生成树中所有边之和for (int i = 0;i < n;i++) {//n次迭代int t = -1;for (int j = 1;j <= n;j++) {//找集合外距离最小的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//t==-1说明现在还没有找到任何一个点t = j;//t存当前距离最小的点}if (i && dist[t] == INF)//如果不是第一个点并且dist[t]是正无穷，说明当前图是不连通的，说明不存在最小生成树return INF;if (i)//先累加，再更新，防止自环的加入res += dist[t];for (int j = 1;j <= n;j++)dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//dist表示该点到集合的距离st[t] = true;}return res;
}
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m--) {int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);}int t = prim();if (t == INF)puts("impossible");//所有点不连通时不存在最小生成树elseprintf("%d\n", t);return 0;
}

堆优化 Prim

时间复杂度 O(mlogn)

适用情况

稀疏图

克鲁斯卡尔（Kruskal）

时间复杂度 O(mlogm)

适用情况

稀疏图

算法流程

将所有边按照权重从小到达排序，可以用快排排序 O(mlogm)
从小到大依次枚举每条边a，b，权重c O(m)

如果a，b不连通，那么将这条边加入集合中

模板

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
int p[N];
struct Edge {int a, b, w;bool operator<(const Edge& W)const {return w < W.w;}
}edges[N];
int find(int x) {if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 0;i < m;i++) {int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);edges[i] = { a,b,w };}//克鲁斯卡尔算法sort(edges, edges + m);//将所有边按权重排序for (int i = 1;i <= n;i++)//初始化并查集p[i] = i;int res = 0, cnt = 0;for (int i = 0;i < m;i++) {//从小到大枚举所有边int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;a = find(a), b = find(b);if (a != b) {//两个祖宗节点不连通p[a] = b;//合并两个集合res += w;//res存最小生成树中所有树边权重之和cnt++;//cnt存当前加了多少条边}}if (cnt < n - 1)//不连通puts("impossible");elseprintf("%d\n", res);return 0;}

例题——Kruskal求最小生成树

题目描述

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,

1≤m≤2∗10^5,

图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。

输入样例

4 5

1 2 1

1 3 2

1 4 3

2 3 2

3 4 4

输出样例

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
int p[N];
struct Edge {int a, b, w;bool operator<(const Edge& W)const {return w < W.w;}
}edges[N];
int find(int x) {if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);return p[x];
}
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 0;i < m;i++) {int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);edges[i] = { a,b,w };}sort(edges, edges + m);for (int i = 1;i <= n;i++)p[i] = i;int res = 0, cnt = 0;for (int i = 0;i < m;i++) {int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;a = find(a), b = find(b);if (a != b) {p[a] = b;res += w;//res存最小生成树中所有树边权重之和cnt++;//cnt存当前加了多少条边}}if (cnt < n - 1)puts("impossible");elseprintf("%d\n", res);return 0;}