代码随想录算法训练营第三十八天|完全背包，518. 零钱兑换 II ，377. 组合总和 Ⅳ-编程知识

完全背包

例题：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

区别：完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

公式推导：01背包问题是从二维数组压缩到一维数组，由于一维数组要保证每次取得物品不重合，遍历顺序也就变成了从后向前遍历。但是完全背包问题每种物品数量不限制数量，也就是说不需要防止重合情况，那问题就变成了一维数组或者说是滚动数组从前往后遍历。

首先再回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

注意：这里j什么要从weight[i]开始，因为当j小于weight[i]时，也就是当前容量不足以装下当前第i个物品，所以每次在遍历开始都要从weight[i]开始。

dp数组初始化：dp[j]=0,也就是没放物品时，不管容量多大，价值都是0;

举例推导dp公式:

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

每件商品都有无限个！

问背包能背的物品最大价值是多少？

我们来走一遍流程：

只可以选物品0时：随着容量变大，不断放进物品0就行，直到装满，结果就出来了；

可以选物品0和物品1时：首先容量0-2时，物品1放不进，所有直接将上一步结果放入，这一步其实也就是解释了为什么二维数组可以被压缩，也解释了为什么j要从weight[i]开始；

牢记dp[j]是代表j容量的背包填满，最大价值是多少。

当容量变成3（j=weight[i]）以后，dp[j]发生了什么，dp[j]有两个来源：

①不加入物品1，那就是和上一步结果一样，所以取dp[3]；

②加入物品1，首先容量得腾出位置来放物品1，所以3-weight[1]，也就是容量变成1了，当j=1时，dp[1]=15（最大价值是15），再加上物品1的价值value[1]=20,所以dp[3-weight[1]]+value[1]。进行最后一步，选出dp[3]和dp[3-weight[1]]+value[1]的最大值，就是当前容量填满放进去物品的最大价值。

最后，j=4或者物品2也在选择范围时，就可以用公式：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

完整代码：注意这里先开始遍历物品再开始遍历背包容量，反过来也可以，区别于一维01背包。

void test_CompletePack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[bagWeight];
}

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

思路：完全背包问题，amount就是背包容量，coins就是可以选择的物品。

解决：动态规划五部步曲

1.确定dp[j]的含义；

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。注意这里dp[j]求得是组合数，不是硬币的总额。

2.确定递推公式；

和494.目标和类似，dp[j]+=dp[j-coins[i]]；

3.确定dp初始化；

还是和494.目标和类似，dp[0]=1；

代码随想录算法训练营第三十七天|1049. 最后一块石头的重量 II ，494. 目标和，474.一和零-CSDN博客

4.确定遍历顺序；

先遍历硬币，再遍历金额，里层遍历从前向后遍历，因为硬币可以重复用。

5.举例推导dp数组。

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

代码：

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount+1,0);dp[0]=1;for(int i=0;i<coins.size();i++){for(int j=coins[i];j<=amount;j++){dp[j]+=dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

思路：这里nums是可以重复的，可以转换成完全背包问题。

①物品：这里物品就是nums里面元素；

②背包：就是组合，但是这里要求的是组合数量，所以dp数组里不是放价值，是放组合的数量；

拿示例1来说，就是需要背包物品总价值为4（j=4），从nums中选物品（可以重复）放入背包，有7种组合dp[j]。

解决：动态规划五步曲

1.确定dp[j]含义；

dp[j]就表示目标数为j的组合有dp[j]种。

2.确定递推公式；

和上题一样，dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]]。

3.确定dp初始化；

dp[j]初始都为0，dp[0]=1。

4.确定遍历顺序；

①由于可以重复选取元素，所以这是一个完全背包问题。

②其次组合顺序不同也算一种新组合，题目要的其实是排列。

循环方式就两种：外循环物品，内循环目标数；外循环目标数，内循环物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。同样举个例子，当j=3时，我可以先取1再取2，或者先取2再取1，因为当前循环target没变，是通过遍历nums数组去组合。

5.举例推导dp数组。

代码：

注意：C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target+1,0);dp[0]=1;for(int j=0;j<=target;j++){//遍历容量for(int i=0;i<nums.size();i++){//遍历物品if(j-nums[i]>=0&&dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]){dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];}}}return dp[target];}
};

防止数组越界要判断j-nums[i]>=0。