从图中我们可以看出背包问题主要涉及01背包、完全背包、多重背包和分组背包。
01背包问题
1.暴力解法是一个回溯问题
2.动态规划方法涉及二维dp数组和一维dp数组解法，二维dp数组是1维dp数组的基础
二维dp数组解法：
首先考虑动态规划五部曲
1）dp数组的定义：
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
此处一定要注意i表示的是一个范围
2）递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3）如何初始化：
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}也就是从容量大于weight[0]开始初始化到背包最大容量。
4）遍历顺序
先遍历 物品还是先遍历背包重量呢
均可，先遍历物品更容易理解
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}5）举例推导递推数组。
卡码网46题
import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int numofthings = sc.nextInt();int weight = sc.nextInt();int[] we = new int[numofthings];int[] value = new int[numofthings];for(int i = 0;i<numofthings;i++){we[i] = sc.nextInt();}for(int i = 0;i<numofthings;i++){value[i] = sc.nextInt();}// System.out.println("num"+numofthings);// System.out.println("weight"+weight);// System.out.println(Arrays.toString(we));// System.out.println(Arrays.toString(value));System.out.println(bagsolution(numofthings,weight,we,value));}public static int bagsolution(int num,int weight,int[] we,int[]value){int[][] dp = new int[num][weight+1];//初始化for(int i = we[0];i<=weight;i++){dp[0][i] = value[0];}//开始遍历for(int i = 1;i<num;i++){for(int j = 1;j<weight+1;j++){if(we[i]>j){dp[i][j] = dp[i-1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],(dp[i-1][j-we[i]]+value[i]));}}}return dp[num-1][weight];}
}
一维DP数组解法（滚动数组）：
动态规划五部曲：
1）dp数组的定义：
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2）递归公式：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);3）初始化：
dp数组初始化的时候，都初始为0。
4）遍历顺序：
j是倒序遍历，保证每个物品只添加一次
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}同时必须保证先遍历物品再遍历容量。
如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
比如在dp[4]中
dp[4] = Math.max(dp[4],dp[1]+value[1])此时，dp[1]还没有装入物品0，所以相当于仅放入了物品1.
5）举例推导dp数组
416.分割等和子集
初始思路：
首先求和，如果和/2是一个小数的话那么肯定不可分
然后就是联想，如何把该题转化为01背包问题呢？
物品 数组中的数
物品的重量 数组的值
物品的价值 数组的值
weight = sum/2；
如果在背包问题中有dp【j】 = weight；就代表可分
class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {double sum = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {sum = sum+ nums[i];}//System.out.println(sum);double weight = sum/2;//System.out.println(weight);int integerPart = (int) weight; // 取整数部分if (weight != integerPart) {//System.out.println("该数是一个小数");return false;} else {//System.out.println("该数不是一个小数");int[] dp = new int[integerPart+1];for(int i = 0;i<nums.length;i++){for(int j=integerPart;j>=nums[i];j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);if(dp[j]==integerPart){return true;}}}}return false;}
}题解复盘：
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。
本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。
套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。
2.确定递推公式
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3.dp数组如何初始化
非0下标的元素初始化为0
4.确定遍历顺序
注意条件一定是j>=nums[i]!
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}
5.举例推导dp数组
