动态规划---子序列问题-编程知识

动态规划---子序列问题

一)最长递增子序列:

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

算法原理:

1.定义一个状态表示:经验+题目要求

dp[i]表示，以i位置为结尾，最长递增子序列的长度

中心思路就是找到以i位置为结尾的所有递增子序列，然后找到递增子序列中最长的一个子序列

2.根据状态表示推导状态转移方程

像子序列子数组这样的状态转移方程的推导，都是针对于如何构成这个子序列，或者是如何构成这个子数组，来划分问题的，同时以i位置为结尾的递增子序列，可以分成一下几类:

2.1)单独自己构成一个递增子序列，那么长度就是1

2.2)和前面的元素进行结合构成子序列:要么i位置的元素和i-1位置的元素进行结合成子序列

要么是和i-2位置的元素构成子序列，要么是和i-3位置的元素构成子序列

2.3)先找到以j位置为结尾的最长递增子序列的长度，并且array[i]>array[j]，然后再加上array[j]的值，就构成了以i为结尾的最长递增子序列

3.初始化+填表顺序:从左向右

对于长度问题的初始化，一般都是将dp表中的值初始化成元素最差的状态

4.返回值:返回dp表里面的最大值
class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp=new int[nums.length];int maxlen=Integer.MIN_VALUE;
//1.单独一个元素就可以构成子序列for(int i=0;i<dp.length;i++){dp[i]=1;}
//2.j从0开始,j<=i进行遍历for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(nums[i]>nums[j]){dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);}}maxlen=Math.max(dp[i],maxlen);}return maxlen;}
}

2)摆动序列:这个题和之前做的湍流子数组有点像

1)定义一个状态标识:

先找到以i位置元素为结尾的所有子序列中，再找到最长的摆动序列的长度

376. 摆动序列 - 力扣（LeetCode）

2)根据状态表示推导状态转移方程:

当以某一个位置为结尾的时候，最后呈现的趋势可能是下降的趋势也有可能是上升的趋势，所以说如果想以最后一个位置进行研究问题的话，是可以进行细分出两种状态的，要么是以下降状态到达最后一个位置，要么是以上升状态到达最后一个位置

1)f[i]表示以i位置元素为结尾的所有子序列中，最后一个位置呈现上升趋势的最长的摆动序列的长度

2)g[i]表示以i位置元素为结尾的所有子序列中，最后一个位置呈现下降趋势的最长的摆动序列的长度

3)像状态转移方程这类问题也就是子序列问题这样的分析，就是根据子序列的构成来进行分析的，就是来进行分析以i位置元素为结尾的所有子序列是如何来进行构成的

要么是单独自己一个元素来构成子序列，那么这个子序列就是本身，要么就是跟着i元素前面的一个元素后面来充当子序列，长度大于1
class Solution {public int wiggleMaxLength(int[] nums) {int f[]=new int[nums.length];int g[]=new int[nums.length];for(int i=0;i<nums.length;i++){f[i]=1;g[i]=1;}int maxlen=Integer.MIN_VALUE;for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(nums[i]>nums[j]){f[i]=Math.max(f[i],g[j]+1);}if(nums[i]<nums[j]){g[i]=Math.max(g[i],f[j]+1);}}maxlen=Math.max(f[i],maxlen);maxlen=Math.max(g[i],maxlen);}return maxlen;}
}

三)最长递增子序列的个数:

673. 最长递增子序列的个数 - 力扣（LeetCode）

先来一个小算法:要求通过一次遍历。找到数组中最大值出现的次数

1)定义一个maxVal和maxCount，一开始的时候先让maxVal等于数组中的第一个元素，maxCount等于1，然后让i下标向后进行遍历

2)如果发现if(maxVal>array[i])说明array[i]绝对不是当前我们要进行寻找的最大值

如果发现maxVal==array[i]那么让计数器++即可

如果发现maxVal<array[i]，此时说明array[i]的值更接近于我们想要的答案，此时前面所做的计数全部白费，此时计数器重置，maxVal=array[i]，更新最大值，重新计数

1.定义一个状态标识

dp[i]表示以i位置元素为结尾的所有子序列中，最长的递增子序列的个数