第八部分 函数

定义 8.1 F 为二元关系 , x dom F 都存在唯一的 y ran F 使 xFy 成立 , 则称 F 函数 对于函数 F , 如果有 xFy , 则记作 y = F ( x ), 并称 y F x .
F 1 ={< x 1 , y 1 >,< x 2 , y 2 >,< x 3 , y 2 >} F 2 ={< x 1 , y 1 >,< x 1 , y 2 >}
F 1 是函数 , F 2 不是函数 
即只能一对一或多对一
定义 8.2 F , G 为函数 ,
F = G F G G F
如果两个函数 F G 相等 , 一定满足下面两个条件:
(1) dom F =dom G
(2) x dom F =dom G 都有 F ( x )= G ( x )

函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG

定义 8.3 A , B 为集合 , 如果
f 为函数 , dom f = A , ran f B, 则称 f A B 的函数 , 记作 f A B
f N→N, f ( x )=2 x 是从 N N 的函数
g N→N, g ( x )=2 也是从 N N 的函数
即定义域都在A上,都存在,值域都在B上,但是不用都存在
定义 8.4 所有从 A B 的函数的集合记作B^{^{A}} , 符号化表示为 B^{^{A}} = { f | f A B }
| A |= m , | B |= n , m , n >0, | B A |= n m
A = , B A = B ={ }
A B = , B A = A =
1 A ={1,2,3}, B ={ a , b }, B^{^{A}}.
B^{^{A}}={ f 0 , f 1 , … , f 7 }, 其中
f 0 = {<1, a >,<2, a >,<3, a >}
f 1 = {<1, a >,<2, a >,<3, b >}
f 2 = {<1, a >,<2, b >,<3, a >}
f 3 = {<1, a >,<2, b >,<3, b >}
f 4 = {<1, b >,<2, a >,<3, a >}
f 5 = {<1, b >,<2, a >,<3, b >}
f 6 = {<1, b >,<2, b >,<3, a >}
f 7 = {<1, b >,<2, b >,<3, b >}
定义 8.5 设函数 f A B , A 1 A , B 1 B
(1) A 1 f 下的像 f ( A 1 ) = { f ( x ) | x A 1 }, 函数的像 f ( A )
(2) B 1 f 下的完全原像 f 1 ( B 1 )={ x | x A f ( x ) B 1 }
定义 8.6 f A B ,
(1) ran f = B , 则称 f : A B 满射
(2) y ran f 都存在唯一的 x A 使得 f ( x )= y , 则称 f : A B 单射
(3) f : A B 既是满射又是单射的 , 则称 f : A B 双射

满射:值域都在B上,并且值域都存在

单射:一一对应 

定义 8.7
(1) f : A B , 如果存在 c B 使得对所有的 x A 都有 f ( x )= c , 则称 f : A B 常函数 .
(2) A 上的恒等关系 I A A 上的 恒等函数 , 对所有的 x A I A ( x )= x .
(3) < A , >, < B , > 为偏序集, f : A B ,如果对任意的 x 1 , x 2 A , x 1 x 2 , 就有 f ( x 1 ) f ( x 2 ), 则称 f 单调递增 的;
果对任意的 x 1 , x 2 A , x 1 x 2 , 就有 f ( x 1 ) f ( x 2 ), 则称 f 格单调递增 . 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数

定理8.1 F, G是函数, F°G也是函数, 且满足

(1) dom( F ° G )={ x | x dom F F ( x ) dom G }
(2) x dom( F ° G ) F ° G ( x )= G ( F ( x ))

定理8.2 f:AB, g:BC

(1) 如果 f : A B , g : B C 是满射的 , f ° g : A C 也是满射的
(2) 如果 f : A B , g : B C 是单射的 , f ° g : A C 也是单射的
(3) 如果 f : A B , g : B C 是双射的 , f ° g : A C 也是双射的

 对于期末考试这里已经够用了,我也想往下写,但是下面我也不懂了

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