第四部分一维连续型随机变量-编程知识

第四部分一维连续型随机变量

目录

温馨提示：

已知fx(X)求概率

方法：

例1

例2

求fx(X)中的未知数

方法：

例3

已知 fx(X)求F

方法：

例4

求F中的未知数

方法：

例5

已知F求f

方法：

例6

已知f求f

方法：

普通求法：

公式法：

例7

已知f求期望、方差

方法：

例8

温馨提示：

本节用到的积分结果在第三部分中计算过，不知道怎么计算的可以去看第三部分

已知fx(X)求概率

方法：

①将待求P里的式子变成X如何的式子

②P{X在ab之间}= $\int_{a}^{b}f_{x}(x)dx$

例1

设X的概率密度，已知 $Y=\frac{1}{2}X$ ，求P{0<Y<1}

解

① $P=\left \{0<\frac{1}{2}X<1 \right \}$

=P{0<X<2}

②P{0<X<2}= $\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx$ =1 求法第三部分连续型需要的积分例1

例2

设X的概率密度，已知 $Y=\frac{1}{2}X$ ，P{Y≤y}

解

① $P=\left \{\frac{1}{2}X<y \right \}$

=P{X≤2y}

=P{-∞<X≤2y}

②P{-∞<X≤2y}= $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

求法第三部分连续型需要的积分例8

求fx(X)中的未知数

方法：

$\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$ =1

例3

设X的概率密度，试求a

解

先求出正无穷到负无穷的积分

$\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$ $=a$ 求法第三部分连续型需要的积分例4

让积分的结果等于1

a=1

已知 fx(X)求F

方法：

$F_{A}(b)\Leftrightarrow P\left \{ A\leq b\right \}$ 如果有下标则代表A≤b的括号里字母的概率

$F(b)\Leftrightarrow P\left \{ B\leq b\right \}$ 如果没有则代表括号里字母的大写字母B≤b括号里字母的概率

例4

设X的概率密度，已知 $Y=\frac{1}{2}X$ ，求 $F_{Y}(y)$

解

本题求P{Y≤y}

见本节例2 求法第三部分连续型需要的积分例8

求F中的未知数

方法：

F(+∞)=1

F(-∞)=0

F上(分段点)=F下(分段点)

解

例5

设X的分布函数为

解

$F(+\infty )=1\Rightarrow a+be^{-\lambda(+\infty ) }=1$

                         $\Rightarrow a+be^{-\infty }=1$

                         $\Rightarrow a+b\frac{1}{e^{+\infty }}=1$

                         $\Rightarrow a+b\frac{1}{+\infty }=1$

                         $\Rightarrow a+b0=1$

                         $\Rightarrow a=1$

F上(分段点)=F下(分段点) $\Rightarrow 0=1+be^{-\lambda0 }$ 两个式子在0时的取值相等

                                         $\Rightarrow 0=1+be^{0}$

                                         $\Rightarrow 0=1+b$

                                         $\Rightarrow b=-1$

已知F求f

方法：

$f_{A}(a)=F_{A}'(a)$

例6

设Y的分布函数F求 $f_Y{(y)}$

解

$\Rightarrow$

$\Rightarrow$

已知f求f

方法：

普通求法：

(麻烦但啥题都能用)

求F，F再求导就是f

公式法：

(简单，但仅满足要求的题可用)

若再 $f_{x}(x)\neq 0$ 的区间内，Y=g(X)是单调递增或者单调递减

则

①根据Y与X的关系式，算一下X=？，接着算下 $\frac{dx}{dy}$

②给 $f_{x}(x)$ 所有可能的取值后面，都 $\times |\frac{dx}{dy}|$

③将 $f_{x}(x)$ 变成 $f_{Y}(y)$

④根据Y与X的关系，用y表示所有的x

例7

设X的概率密度，已知 $Y=\frac{1}{2}X$ ，求 $f_Y{(y)}$

解

普通求法：

例6

公式法：

题目中不等于0的取值为1，Y的表达式是 $Y=\frac{1}{2}X$ ，验证Y的表达式在0≤x＜1中是不是单调递增或递减，很明显是单调递增的

①X=2Y，接着算 $\frac{dx}{dy}=\frac{d(2y)}{dy}=2$

②给 $f_{x}(x)$ 所有取值后面都 $\times |\frac{dx}{dy}|$ ，这里都×|2|

③将 $f_{x}(x)$ 变成 $f_{Y}(y)$

④

所有的x可以变为2y

最后

已知f求期望、方差

方法：

E[g(X)]= $\int_{-\infty }^{+\infty }g(x)f_{x}(x)dx$

E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c

DX= $E(X^{2})-(EX)^{2}$

D(aX+c)= $a^{2}DX$

例8

已知，试求D(2X+3)

解

D(2X+3)=2^2DX

=4DX

=4[E(X^2)-(EX)^2]

= $4[\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx-(\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx)^{2}]$

= $4\times [\frac{1}{3}-(\frac{1}{2})^{2}]$ 求法第三部分连续型需要的积分例3，例2

= $\frac{1}{3}$