剑指 Offer（第2版）面试题 68：树中两个结点的最低公共祖先

题目来源：88. 树中两个结点的最低公共祖先

题目描述：给出一个二叉树，输入两个树节点，求它们的最低公共祖先。一个树节点的祖先节点包括它本身。

解法1：递归

祖先的定义： 若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p=root，则称 root 是 p 的祖先。

最近公共祖先的定义： 设节点 root 为节点 p、q 的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p、q 的公共祖先，则称 root 是“最近的公共祖先”。

根据以上定义，若 root 是 p、q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

1. p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
2. p=root，且 qqq 在 root 的左或右子树中；
3. q=root，且 ppp 在 root 的左或右子树中；

考虑通过递归对二叉树进行先序遍历，当遇到节点 p 或 q 时返回。从底至顶回溯，当节点 p、q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root。

代码：

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}* };*/
class Solution
{
public:TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *p, TreeNode *q){if (root == nullptr)return root;// p 和 q 其中有一个正好是 root，直接返回 root 就行if (root == p || root == q)return root;// 通过递归，得到左右两棵子树的值TreeNode *leftLCA = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);TreeNode *rightLCA = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);// p 和 q 分别在 root 的不同子树，直接返回 root 就行if (leftLCA && rightLCA)return root;// p 和 q 在 root 的同一侧，且 root 不等于 p 或者 q 的任何一个，那么就找 p 和 q 在的那一侧子树return leftLCA == nullptr ? rightLCA : leftLCA;}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树的节点个数。最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。

空间复杂度：O(height)，其中 height 是二叉树的深度。

拓展题：二叉搜索树的最近公共祖先

题目链接：235. 二叉搜索树的最近公共祖先

解法1：两次遍历

分别找到 root 到 p 和 root 到 p 的路径，因为 root 到 p 和 q 的最近公共祖先的路径长度一样，所以比较 path_p[i] 和 path_q[i] 即可，相等就说明找到了 p 和 q 的最近公共祖先。

代码：

// 两次遍历class Solution
{
public:// 主函数TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *p, TreeNode *q){TreeNode *ancestor = nullptr;vector<TreeNode *> path_p = getPath(root, p);vector<TreeNode *> path_q = getPath(root, q);for (int i = 0; i < path_p.size() && i < path_q.size(); i++){if (path_p[i] == path_q[i])ancestor = path_p[i];elsebreak;}return ancestor;}// 辅函数 - 得到从根节点到目标节点的路径vector<TreeNode *> getPath(TreeNode *root, TreeNode *target){vector<TreeNode *> path;TreeNode *node = root;while (node != target){path.push_back(node);if (node->val > target->val)node = node->left;elsenode = node->right;}path.push_back(node);return path;}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是给定的二叉搜索树中的节点个数。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是给定的二叉搜索树中的节点个数。我们需要存储根节点到 p 和 q 的路径。

解法2：一次遍历

利用二叉搜索树的特性，只需要一次遍历。

我们从根节点开始遍历：

1. 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的左子树，因此将当前节点移动到它的左子节点；
2. 如果当前节点的值小于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的右子树，因此将当前节点移动到它的右子节点；
3. 如果当前节点的值不满足上述两条要求，那么说明当前节点就是「分岔点」。此时，p 和 q 要么在当前节点的不同的子树中，要么其中一个就是当前节点。

代码：

// 一次遍历class Solution
{
public:TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *p, TreeNode *q){TreeNode *ancestor = root;while (1){// 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 在当前节点的左子树if (ancestor->val > p->val && ancestor->val > q->val)ancestor = ancestor->left;// 如果当前节点的值小于p和q的值，说明p和q在当前节点的右子树else if (ancestor->val < p->val && ancestor->val < q->val)ancestor = ancestor->right;else // 当前节点就是「分岔点」break;}return ancestor;}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是给定的二叉搜索树中的节点个数。

空间复杂度：O(1)。