完全背包理论基础
完全背包和0-1背包问题唯一不同的地方就是，完全背包中每种物品有无限个。
完全背包和0-1背包在代码上唯一的不同体现在遍历顺序上，直接对两个问题的遍历顺序进行分析。
0-1背包在使用一维dp数组时，是先遍历物品，然后倒序遍历背包容量。
01背包中之所以倒序去遍历背包容量，是为了防止重复放入物品。而完全背包中的物品的可以被放入无限次的。所以完全背包中我们的遍历顺序应该是从小到大遍历背包容量。
而对于纯完全背包的问题，先遍历物品还是先遍历背包容量都是没有关系的。但是对于特定的应用题目，需要具体来分析应该如何进行遍历。
//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + " ");}
}//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品if (i - weight[j] >= 0){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);}}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + " ");}
}
518. 零钱兑换 II
题目链接：518. 零钱兑换 II
思路：本题求的是能够凑成总金额的硬币组合数，硬币数量不限，完全背包解决组合问题。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。
动态规划五步曲：
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dp[j]：凑成总金额j的硬币组合数为dp[j]种
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递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]
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初始化：组合问题，dp[0] = 1。
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遍历顺序：本题是求解组合数，应该先遍历物品，再遍历背包容量。如果是求解排列数，则应该先遍历背包容量，再遍历物品。
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举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。
class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {// dp[j]：凑成总金额j的硬币组合数为dp[j]种int[] dp = new int[amount + 1];// 初始化，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.length; i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
}
377. 组合总和 Ⅳ
题目链接：377. 组合总和 Ⅳ
思路：本题其实是一个求排列的问题。本题只需要求排列总和的个数，可以使用背包，如果要将所有排列列举出来，只能用回溯法暴力搜索。
动态规划五步曲：
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dp[i]：凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
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递推公式为：dp[i] += dp[i - nums[j]]
排列问题与求组合问题的递推公式相同，遍历顺序不同。
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初始化：dp[0] = 1
给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
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遍历顺序：求解排列数问题，先遍历背包容量，再遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1, 3} 这样的集合，不会有{3, 1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
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举例推导dp数组
用示例中的例子推导一下：
如果代码运行出的结果不是想要的，就把dp[i]都打印出来，看看和推导的是否一致。
class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {// dp[i]：凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]int[] dp = new int[target + 1];// 初始化dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) {for (int j = 0; j < nums.length; j++) {if (i >= nums[j]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
}
