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前言

在之前推导正交相机 或 透视相机 到 裁剪空间的矩阵的归一化设置坐标NDC时。我们在DirectX平台下，都进行了Z值的反转。

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一、在对裁剪坐标归一化设置NDC时，DirectX平台Z的特殊

• 在OpenGL下，我们归一化设置的Z坐标在归一化后范围为[-1,1]

• 在DirectX下，我们归一化设置的Z坐标在归一化后范围为应该为[0,1]

• 但是，却使用了Reversed-Z对Z值进行了反转[1,0]

• DirectX下进行了反转后的矩阵
  $\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n}{f-n}& \frac{nf}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$

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二、在图形计算器中，看一下Z值反转前后变化

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{w}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2n}{h}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n}{f-n}& \frac{nf}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\\ z_v\\ 1\end{array}\right]$

• Z值公式 = $\frac{n}{f-n}{z}_v+\frac{nf}{f-n}$

1、在图形计算器创建两个变量 n 和 f 分别 控制近裁剪面 和 远裁剪面

2、带入公式得到齐次裁剪空间下Z值

3、进行透视除法

4、用 1 - Z 得出Z值反转前的函数图形

5、进行Z值反转的原因

在进行计算时，浮点值 在十进制 和 二进制 之间转化计算会造成误差
从而导致结果不是我们想要的结果。

• 在Z值反转前的函数中，可以看出我们函数在[0,0.1]之间斜率很大，导致在这 $\frac{1}{10}$ 定义域中，对计算前的Z_v精度要求越低。
• 但是，在其余的(0.1,1]之间斜率太小，导致在 $\frac{9}{10}$ 定义域中，对计算前的 Z_v精度要求越高。

这与我们实际需要的效果不符合
应该在离摄像机近时，精度高一点
离摄像机远时，精度低一点

• 所以，有了Z值的反转

三、为什么浮点值计算会存在误差

在我们的计算机中，我们的计算最后都会转化为二进制。

在我们的寄存器存储小数时，会把十进制小数转化到二进制中 ，存储不下的、靠右的部分舍弃，以保证我们的计算能够正常运行

• 小数的十进制转二进制