图像的腐蚀与膨胀

设集合$B$的反射为$\hat{B}$，其定义如下
$$\hat{B}=\left\{\begin{array}{c}w|w=-b,b\in B\end{array}\right\}$$
设集合$B$按照点$z=(z_1,z_2)$平移得到集合$(B{)}_z$，其定义如下
( B ) z = { c ∣ c = b + z , b ∈ B } \left(B\right)_{z}=\left\{c\mid c=b+z,b\in B\right\} (B)z​={c∣c=b+z,b∈B}
其中操作如下图所示

集合 $A$ 的补集是不包含于集合 $A$ 的所有 元素组成的集合：

A c = { w ∣ w ∉ A } A^{c}\:=\:\left\{w\mid w\notin A\right\} Ac={w∣w∈/A}
集合 $A$ 和 $B$ 的差，表示为 $A-B$ ,定义为：

A − B = { w ∣ w ∈ A , w ∉ B } = A ∩ B c A-B=\{w\mid w\in A,w\notin B\}=A\cap B^{c} A−B={w∣w∈A,w∈/B}=A∩Bc
作为$Z^2$中的集合$A$ 和$B$,表示为$A\ominus B$ 的$B$ 对$A$ 的腐蚀为
A ⊖ B = { z ∣ ( B ) z ⊆ A } = { z ∣ ( B ) z ∩ A c = ∅ } A{\ominus}B=\left\{z\mid\left(B\right)_{z}\subseteq A\right\}=\left\{z\mid(B)_{z}\cap A^{c}=\emptyset\right\} A⊖B={z∣(B)z​⊆A}={z∣(B)z​∩Ac=∅}
表面上，该式指出 $B$ 对 $A$ 的腐蚀是一个用 $z$ 平移的 $B$ 包含在 $A$ 中的所有的点 $z$ 的集合。

$A$和$B$ 是$Z^2$中的集合，表示为$A\oplus B$ 的$B$ 对 $A$ 的膨胀定义为

$$A\oplus B=\left\{z\mid (\hat{B}{)}_z\cap A\ne \varnothing \right\}=\left\{z\mid [(\hat{B}{)}_z\cap A]\subseteq A\right\}$$

结构元$B$ 对集合 A 的开操作，表示为 $A\circ B$ , 其定义如下：

$$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$

因此，$B$ 对 $A$ 的开操作就是 $B$ 对 $A$ 的腐蚀，紧接着用 $B$ 对结果进行膨胀。
类似地，用结构元 $B$ 对集合 $A$ 的闭操作，表示为 A•B , 定义如下：
$$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$$

上式说明，$B$ 对集合 $A$ 的闭操作就是简单地用 $B$ 对 $A$ 膨胀，紧接着用 $B$ 对结果进行腐蚀。

由此可以得到关于开运算的几点结论：

1. 开运算能够除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位置和形状不便。
2. 开运算是一个基于几何运算的滤波器。
3. 结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。
4. 不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。

同理也可以得到关于闭运算的几点结论：

1. 闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。
2. 闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。
3. 结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。
4. 不同结构元素的选择导致了不同的分割。