在强化学习中，关注智能体在与环境的交互中学习，成为试错型学习。多臂老虎机不存在状态信息，只有动作和奖励，是最简单的“和环境交互中学习“。

什么是多臂老虎机

老虎机_百度百科 (baidu.com) 多臂老虎机即有多个摇杆的老虎机，每个摇杆获得奖励的概率分布 R 不同，每次拉动摇杆，可以根据该摇杆的奖励概率分布，有概率获得奖励 r 。

我们需要在每根拉杆的奖励概率分布未知的情况下，在操作T次后，获得最高的累计奖励，因此需要在寻找获奖概率最高的拉杆和从拉过的杆中选择获奖最多（间接体现在已知的拉杆中获奖概率最高）的拉杆进行权衡。

数学化表达多臂老虎机、累积懊悔与估计期望

数学化形式上表达多臂老虎机

定义一个元组 $<A,R>$ ，其中：

• A表示动作合集，假定老虎机为K根拉杆，即 $<a_1,....,a_K>$ ，每一个动作 $a_x\in A$ ，表示拉动一个第x个拉杆
• R为奖励概率分布，拉动每一根拉杆的动作 $a_x$ 都对应着一个属于自己的奖励概率分布 $R(r_x|a_x)$ ，不同拉杆的奖励分布一般不同

每一步只能拉动一个拉杆，则我们的目标为在有限的步数T的情况下，让奖励最大化，即 $max{\sum }_{t=1}^T{r}_t,r_{t}R(r_t|a_t)$

累积懊悔

对于每一个动作a，定义其期望奖励为 $Q(a)$ （每次拉动不一定获奖，有获奖概率，则也有获奖期望），则至少存在一根拉杆，期望奖励不小于（可能等于）其他任意一个拉杆，将最大、最优期望奖励表示为 $Q\ast =ma{x}_{a\in A}Q(a)$ 。

我们引入懊悔（regret）的概念表示当前动作a与最优拉杆的期望奖励的差，为 $R(a)=Q\ast -Q(a)$ ，在一些问题中，最大化累计奖励可以等于最小化累计懊悔，为此我们需要了解T次操作后，累计懊悔的表达式 ${\sigma }_R={\sum }_{t=1}^{T}R(a_t)$

估计期望奖励

根据每次拉动拉杆得到的奖励，估计各动作的期望奖励。$\forall a\in A$ ，并初始化计数器 $N(a)=0$ ，初始化各动作的期望奖励估值 $\hat{Q}(a)=0$

• for t=1 $\to$ T do
  • 选取某根拉杆，记作 $a_x$
  • 得到奖励 $r_x$
  • 更新计数器$N(a_x)=N(a_x)+1$
  • 更新期望奖励估值$\hat{Q}(a_x)=\hat{Q}(a_x)+\frac{1}{N(a_t)}[r_t-\hat{Q}(a_t)]$
• end for

最后一步推导过程如下面步骤所示：
$$\begin{array}{rl}{Q}_k& =\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{r}_i\\ & =\frac{1}{k}\left(r_k+\sum _{i=1}^{k-1}{r}_i\right)\\ & =\frac{1}{k}(r_k+(k-1)Q_{k-1})\\ & =\frac{1}{k}(r_k+k{Q}_{k-1}-Q_{k-1})\\ & =Q_{k-1}+\frac{1}{k}[r_k-Q_{k-1}]\end{array}$$
下面我们通过代码来表示拉杆数为10的多臂老虎机，每根拉杆奖励服从伯努利分布R统计学(01): 伯努利分布、二项分布 - 知乎 (zhihu.com)，奖励为 1 代表获奖，奖励为 0 代表没有获奖。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltclass BernoullBandit:#K表示拉杆的个数def __init__(self, K):self.K = Kself.probs=np.random.uniform(size=K) #随机生成K个0-1之间的数，作为拉杆的概率self.bestIdx=np.argmax(self.probs) #返回概率最大的下标self.bestProb=self.probs[self.bestIdx] #最大的获奖概率def step(self,k):# 生成随机数，如果小于self.probs[k]，则代表获得奖励1if np.random.rand()<self.probs[k]:return 1else:return 0np.random.seed(1) #设定随机种子，使得实验具有可重复性
K=10
bandit10Arm=BernoullBandit(K)
print(f'初始概率分布:{bandit10Arm.probs}')
print(f'初始概率最大的下标:{bandit10Arm.bestIdx}，最大的概率:{bandit10Arm.bestProb}')

初始概率分布:[4.17022005e-01 7.20324493e-01 1.14374817e-04 3.02332573e-011.46755891e-01 9.23385948e-02 1.86260211e-01 3.45560727e-013.96767474e-01 5.38816734e-01]
初始概率最大的下标:1，最大的概率:0.7203244934421581

搭建框架，实现多臂老虎机的求解

class Solver:# 多臂老虎机基本框架def _init_(self,bandit):self.bandit=banditself.counts=np.zeros(self.bandit.K) #记录每个拉杆被点击的次数self.regret=0. #当前步的累积懊悔self.actions=[] #记录每次选择的拉杆self.regrets=[] #记录每一步的累积懊悔def updateRegret(self,k):# 更新当前步的累积懊悔，并保存累积懊悔self.regret+=self.bandit.bestProb-self.bandit.probs[k]self.regrets.append(self.regret)def runOneStep(self):# 返回当前动作选择哪一根杠杆raise NotImplementedErrordef run(self,numSteps):# numSteps为总运行次数for _ in range(numSteps):k=self.runOneStep()self.counts[k]+=1self.actions.append(k)self.updateRegret(k)

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