4. 牛顿法

收敛时牛顿法的收敛速度是二阶的，不低于二阶。如果函数有重根，牛顿法一般不是二阶收敛的。
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
matlab实现

%% 牛顿迭代例子
f = @(x) x.^2-2;
g = @(x) 2.*x;
x = newton(f,g,2,1e-7,100)%% 牛顿迭代
function x = newton(f,g,x_0,eps,max_iter)x0 = x_0;for i = 1:max_iterx = x0 - f(x0)/g(x0)if abs(x-x0)<epsbreakendx0 = x;end
end

5. 牛顿下山法

实际上是对每次迭代跳跃步长的修正，试着少条一点距离，看是否在下山。

matlab编程实现

%% 牛顿迭代例子
f = @(x) x.^2+sin(10*x)-1;
g = @(x) 2.*x+10*cos(10*x);
[x,i] = newtonD(f,g,30,1e-16,100)%% 牛顿下山法
function [x,i] = newtonD(f,g,x_0,eps,max_iter)x0 = x_0;for i = 1:max_iterlbd = 1;x = x0 - f(x0)/g(x0)*lbd;while abs(f(x))>=abs(f(x0))lbd = lbd/2;x = x0 - f(x0)/g(x0)*lbd;endif abs(f(x))<epsbreakendx0 = x;end
end