“高端”的位运算-编程知识

封面：“高端”的位运算.png

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原计划迭代作为预备知识的收尾，不过在解2的幂和4的幂时，想到关于数字2的问题可以通过位运算去解决，因此补充了关于位运算的内容。

“征服”面试官

当我还在校园的时候，听到过一个故事：某位学长去面试腾讯时，要求优化冒泡排序，学长“苦思冥想”后使用位运算交换变量，成功“征服”面试官拿下Offer。
故事我们可以当做段子来看，不过提到的位运算交换变量却值得我们去探究。先来看下“普通”程序员是如何交换变量的：

int a = 3, b = 5;
int temp = a;
a = b;
b = temp;

那么“高端”程序员是如何使用位运算交换变量的呢？

int a = 3, b = 5;
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

同样是4行代码，使用位运算无需引入临时变量，因此在空间复杂度上更优，并且位运算更靠近计算机，因此在运算效率上更有优势。

位运算

计算机中，数以二进制的形式存储在内存中，而位运算就是对内存中的二进制数进行操作。维基百科中是这样定义的：

位操作是程序设计中对位数组或二进制数的一元和二元操作。在许多古老的微处理器上，位运算比加减运算略快，通常位运算比乘除法运算要快很多。在现代架构中，位运算的运算速度通常与加法运算相同（仍然快于乘法运算），但是通常功耗较小，因为资源使用减少。

既然位运算是操作二进制数的，那么我们有必要先了解计算机中二进制数是如何表示的。

码，反码和补码

计算机中有3种有符号数的表示方法：原码，反码和补码。
原码，反码和补码的共同点是：最高位为符号位，0代表正数，1代表负数。但它们在数值位上有着不同的表示方法。
我们通过十进制数字-11，来展示这3种表示方法的二进制数（使用8位）。

原码表示

使用原码表示时，除了符号位外，数值位和我们通过“除二倒取余法”计算后的数字相同，-11的原码为：1000 1011。
图1：原码表示.png

反码表示

反码是原码和补码之间转换的过渡码，原码转换为反码的规则为：

正数时，反码和原码相同；
负数时，符号位保持不变，数值位时原码按位取反。

因此，-11的反码表示为：1111 0100。

补码表示

通过反码，我们可以计算出数字的补码，转换规则为：

正数时，补码和反码相同；
负数时，符号位保持不变，数值位时反码数值位加1。

因此，-11的补码表示为：1111 0101。
补码是计算机系统中普遍使用的表示方式，补码相较于原码和反码有两个特点：

符号位可以参与运算；
加法和减法可以统一处理。

到此为止，我们已经了解了计算机中3种二进制数的表示方式，下面简单的做个总结：当数字为正数时，原码，反码和补码相同。
当数字为负数时，原码，反码和补码遵循以下转换规则：
图2：原码，反码和补码的转换.png

位运算符

Java中提供了7种位运算操作符：

符号	描述	运算规则	优先级	示例
~	取反	操作一个数，0变为1，1变为0	1	~ a
<<	带符号左移	操作两个数，数值位向左移动，高位丢弃，低位补0	2	a << 1
>>	带符号右移	操作两个数，数值位向右移动，低位丢弃，高位补符号位	2	a >> 1
>>>	无符号右移	操作两个数，数值位向右移动，低位丢弃，高位补0	2	a >>> 1
&	按位与	操作两个数，同为1时，结果为1，否则为0	3	a & b
^	按位异或	操作两个数，相同为0，不同为1	4	a ^ b
\|	按位或	操作两个数，同为0时，结果为0，否则为1	5

用一段程序来展示位运算符的基础操作：

int number = -11;// 输出Java中的二进制表示(补码),11111111111111111111111111110101
System.out.println("原值，二进制：" + Integer.toBinaryString(number));// 取反，0变为1，1变为0
System.out.println("取反，十进制" + ~number);
System.out.println("取反，二进制：" + Integer.toBinaryString(~number));// 按位异或，相同为0，不同为1
System.out.println("按位异或" + (number ^ number));// 按位与，同为1时，结果为1，否则为0
System.out.println("按位与：" + (number & 1));// 按位或，同为0时，结果为0，否则为1
System.out.println("按位或：" + (number | ~number));// 左移，数值位向左移动，高位丢弃，低位补0
System.out.println("左移，十进制：" + (number << 1));
System.out.println("左移，二进制：" + Integer.toBinaryString(number << 1));// 右移，数值位向右移动，低位丢弃，高位补符号位
System.out.println("右移，十进制：" + (number >> 2));
System.out.println("右移，二进制：" + Integer.toBinaryString(number >> 2));// 无符号右移，数值位向右移动，低位丢弃，高位补0
System.out.println("无符号右移，十进制：" + (number >>> 1));
System.out.println("无符号右移，二进制：" + Integer.toBinaryString(number >>> 1));

位运算技巧

到目前为止，我们已经了解了二进制数和位运算符，不过这些操作看起平平无奇，好像并没有什么用？那么接下来就介绍一些基础的位运算技巧。

2的幂

还记得2的幂吗？当时使用递归求解，效率上还是有些差强人意的，那么有没有更高效的方法呢？
有一个二进制数字：1101 0101。根据常规的二进制转换为十进制的方法，可以得到如下等式： $1\times2^7+1\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=213$
显而易见，如果是2的幂，二进制数字中有且仅有1个1。例如：1000 0000。那么判断是否为2的幂就变成了证明二进制数字仅有1个1，或者说是，证明二进制数字中1后面所有位都为0。
如果数字n是2的幂，那么n-1一定是比n少一位，且二进制位都为1的数字。可以利用0&1=0的特性判断是否符合我们的预期，代码如下：

if((n & (n - 1)) == 0) {return true;
} else {return false;
}

奇偶性

此外，在二进制转换为十进制的过程中，还可以得到另外一点信息，即如果二进制的最低位为1，则数字为奇数。
那么在判断一个数字的奇偶性时，我们只需要得知二进制数字的最后一位是否为1即可，代码如下：

if ((number & 1) == 0) {System.out.println("偶数");
} else {System.out.println("奇数");
}

快速乘/除2

还是在二进制转换为十进制的过程中，我们可以看到，如果想要乘/除2，只需要向左/右移动一位即可，不过对于奇数来说是除2后向下取整。
今天介绍的只是位运算中的基础技巧，算是为大家抛砖引玉。实际上位运算的技巧远不止这些，或者说是二进制数的使用技巧远不止这些。
离我们最近的有Java中ThreadPoolExecutor处理线程状态时使用的技巧，或者叫做位掩码。另外，相信有的小伙伴在面试中被问到过布隆过滤器，这也是一种二进制的进阶用法。
更多的技巧，也可以参考位运算的简单应用和位运算的进阶介绍。

结语

今天的内容到这里就结束了，我们来回顾下都聊了哪些内容：
首先是简单介绍了计算机中的原码，反码和补码，接着是Java中7种位运算操作符，不过并不是所有语言都提供了无符号右移（>>>），最后介绍了一些简单位运算的技巧，但位运算的用法远不止这些，包括听起来很高端的布隆过滤器，也使用了位运算，这也是为什么我说位运算“高端”。
最后补充一篇关于为什么要使用位运算的问答《What are the advantages of using bitwise operations?》，虽然已经过去了11年，但依旧可以作为参考。