最小二乘法介绍✨

最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的数学优化技术，广泛应用于数据拟合、回归分析和参数估计等领域。其目标是通过最小化残差平方和来找到一组参数，使得模型预测值与观测值之间的差异最小化。

最小二乘法的原理✨

线性回归模型将因变量 （y） 与至少一个自变量 （x） 之间的关系建立为：

在 OLS 方法中，我们必须选择一个b1和b0的值，以便将 y 的实际值和拟合值之间的差值的平方和最小化。

平方和的公式如下：

我们可以把它看成是一个关于b1和b0的函数，分别对b1和b0求偏导，然后让偏导等于0，就可以得到最小平方和对应的b1和b0的值。

先说结果，斜率最后推导出来如下所示：

截距推导出来结果如下：

don’t worry about that，慢慢推导总是可以弄明白的（不感兴趣可以直接略过）：

用C#实现最小二乘法✨

创建数据点✨

首先创建想要拟合的数据点：

 NDArray? x, y;

x,y为全局变量。

  //使用NumSharp创建线性回归的数据集x = np.arange(0, 10, 0.2);y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 3, x.size);

使用到了NumSharp，需要为项目添加NumSharp包：

 x = np.arange(0, 10, 0.2);

的意思是x从0增加到10（不包含10），步长为0.2：

np.random.normal(0, 3, x.size);

的意思是生成了一个均值为0，标准差为3，数量与x数组长度相同的正态分布随机数数组。这个数组被用作线性回归数据的噪声。

使用OxyPlot画散点图✨

OxyPlot是一个用于在.NET应用程序中创建数据可视化图表的开源图表库。它提供了丰富的功能和灵活性，使开发者能够轻松地在其应用程序中集成各种类型的图表，包括折线图、柱状图、饼图等。

添加OxyPlot.WindowsForms包：

将PlotView控件添加到窗体设计器上：

// 初始化散点图数据
var scatterSeries = new ScatterSeries
{MarkerType = MarkerType.Circle,MarkerSize = 5,MarkerFill = OxyColors.Blue
};

表示标志为圆形，标志用蓝色填充，标志的大小为5。

  for (int i = 0; i < x.size; i++){scatterSeries.Points.Add(new ScatterPoint(x[i], y[i]));}

添加数据点。

 PlotModel? plotModel;

将plotModel设置为全局变量。

 // 创建 PlotModelplotModel = new PlotModel(){Title = "散点图"};plotModel.Series.Add(scatterSeries);// 将 PlotModel 设置到 PlotViewplotView1.Model = plotModel;

这样就成功绘制了散点图，效果如下所示：

使用最小二乘法拟合数据点✨

double a = 0;
double c = 0;double x_mean = x?.mean();
double y_mean = y?.mean();//计算a和c
for(int i = 0; i < x?.size; i++) 
{a += (x[i] - x_mean) * (y?[i] - y_mean);c += (x[i] - x_mean) * (x[i] - x_mean);
}//计算斜率和截距
double m = a / c;
double b = y_mean - m * x_mean;//拟合的直线
var y2 = m * x + b;

套用公式就可以，a表示上面斜率公式的上面那部分，c表示上面斜率公式的下面那部分。

double x_mean = x?.mean();
double y_mean = y?.mean();

计算x与y的平均值。

使用OxyPlot画拟合出来的直线✨

 //画这条直线         var lineSeries = new LineSeries{Points = { new DataPoint(x?[0], y2[0]), new DataPoint(x?[-1], y2[-1]) },Color = OxyColors.Red};// 创建 PlotModel         plotModel?.Series.Add(lineSeries);// 为图表添加标题if (plotModel != null){plotModel.Title = $"拟合的直线 y = {m:0.00}x + {b:0.00}";}// 刷新 PlotViewplotView1.InvalidatePlot(true);

 Points = { new DataPoint(x?[0], y2[0]), new DataPoint(x?[-1], y2[-1]) },

画直线只要添加两个点就好了x?[0], y2[0]表示x和y的第一个点，x?[-1], y2[-1]) 表示x和y的最后一个点，使用了NumSharp的切片语法。

画出来的效果如下所示：

C#实现的全部代码：

using NumSharp;
using OxyPlot.Series;
using OxyPlot;
namespace OlsRegressionDemoUsingWinform
{public partial class Form1 : Form{NDArray? x, y;PlotModel? plotModel;public Form1(){InitializeComponent();}private void button1_Click(object sender, EventArgs e){//使用NumSharp创建线性回归的数据集x = np.arange(0, 10, 0.2);y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 3, x.size);// 初始化散点图数据var scatterSeries = new ScatterSeries{MarkerType = MarkerType.Circle,MarkerSize = 5,MarkerFill = OxyColors.Blue};for (int i = 0; i < x.size; i++){scatterSeries.Points.Add(new ScatterPoint(x[i], y[i]));}// 创建 PlotModelplotModel = new PlotModel(){Title = "散点图"};plotModel.Series.Add(scatterSeries);// 将 PlotModel 设置到 PlotViewplotView1.Model = plotModel;}private void button2_Click(object sender, EventArgs e){double a = 0;double c = 0;double x_mean = x?.mean();double y_mean = y?.mean();//计算a和cfor(int i = 0; i < x?.size; i++) {a += (x[i] - x_mean) * (y?[i] - y_mean);c += (x[i] - x_mean) * (x[i] - x_mean);}//计算斜率和截距double m = a / c;double b = y_mean - m * x_mean;//拟合的直线var y2 = m * x + b;//画这条直线         var lineSeries = new LineSeries{Points = { new DataPoint(x?[0], y2[0]), new DataPoint(x?[-1], y2[-1]) },Color = OxyColors.Red};// 创建 PlotModel         plotModel?.Series.Add(lineSeries);// 为图表添加标题if (plotModel != null){plotModel.Title = $"拟合的直线 y = {m:0.00}x + {b:0.00}";}// 刷新 PlotViewplotView1.InvalidatePlot(true);}}
}

用Python实现最小二乘法✨

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 用最小二乘法拟合 y = mx + b# 设置随机数种子以保证结果的可复现性
np.random.seed(0)# 生成一个在[0, 10]区间内均匀分布的100个数作为x
x = np.linspace(0, 10, 100)# 生成y，y = 2x + 噪声，其中噪声是[0, 10)之间的随机整数
y = 2 * x + 5 + np.random.randint(0, 10, size=100)# 计算x和y的均值
x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)a = 0
c = 0for i in range(x.shape[0]):a += (x[i] - x_mean) * (y[i] - y_mean)c += (x[i] - x_mean) ** 2# 计算斜率和截距
m = a / c
b = y_mean - m * x_mean# 画这条直线
y2 = m * x + b
plt.plot(x, y2, color='red')# 画数据点
plt.scatter(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title(f'y = {m:.2f}x + {b:.2f}')
plt.show()

运行效果如下所示：

总结✨

本文向大家介绍了最小二乘法以及公式推导的过程，并使用C#与Python进行实现。重点介绍了C#中是如何实现的，同时介绍了在C#中如何使用OxyPlot绘图。希望对你有所帮助。

参考✨

1、Understanding Ordinary Least Squares (OLS) Regression | Built In

2、Machine Learning Series-Linear Regression Ordinary Least Square Method - YouTube