前言
扩展欧几里得算法也是重要的数论，数论固然就是数学知识的理论，希望大家能够熟练掌握！！！
一、扩展欧几里得算法的基本内容
扩展欧几里得算法（英语：Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式
如果a是负数，可以把问题转化成，然后令x'=(-x)。
通常谈到最大公约数时，我们都会提到一个非常基本的事实：给予二个整数a、b，必存在整数x、y使得ax + by = gcd(a,b)。
有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
扩展欧几里得算法可以用来计算模反元素(也叫模逆元)，而模反元素在RSA加密算法中有举足轻重的地位。
二、例题及模板
1.扩展欧几里得算法
模板：
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1; y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a/b) * x;return d;
}AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a / b) * x;return d;
}int main()
{int m;scanf("%d", &m);while (m -- ){int a, b, x, y;scanf("%d%d", &a, &b);exgcd(a, b, x, y);printf("%d %d\n", x, y);}return 0;
}
2.线性同余方程
AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long ;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a / b) * x;return d;
}int main()
{int m;scanf("%d", &m);while (m -- ){int a, b, m, x, y;scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);int d = exgcd(a, m, x, y);if (b % d) puts("impossible");else printf("%lld\n", (LL) x * (b / d) % m);}return 0;
}
