随机图论基础-编程知识

随机图论基础

一，随机图、随机图空间

1，随机图

一个n个点的无向图，最多有s=n(n-1)/2条边。

每条边都有一定的概率存在，有一定概率不存在，那么每个图都有一个出现概率。

2，随机图空间

一共有2^s种不同的图，每个图看作一个点，所有的图构成一组互斥事件，总概率是1，这样就构成一个概率空间，记做G(n,p)

根据这一组事件的概率分布类型，随机图空间也分为不同的类型。

二，二项分布随机图空间

1，二项分布随机图

假设每条边都有p的概率是存在的，有1-p的概率是不存在的，那么一个有k条边的图出现的概率是 $p^k(1-p)^{s-k}$

2，二项分布随机图空间

所有有k条边的图出现的概率总和是 $\binom{s}{k}p^k(1-p)^{s-k}$

所有图出现的概率总和是 $\sum _{0<=k<=s}\binom{s}{k}p^k(1-p)^{s-k}=1$

3，简单规律

对于二项分布随机图空间G(n,0)，空图以1的概率出现，其他图概率是0

对于二项分布随机图空间G(n,1)，完全图以1的概率出现，其他图概率是0

4，条件概率空间

给定n和一个有k条边的图，对于不同的概率p，该图的出现概率 $p^k(1-p)^{s-k}$ 有不同的取值。

当p=k/s时，概率 $p^k(1-p)^{s-k}$ 取到最大值。

三，随机图子空间

1，随机图子空间

把随机空间中的一部分点取出来，维持原有的概率比例，乘以一个系数，使得总和仍然为1，得到的新空间称为随机图子空间

2，二项分布随机图空间的固定边数子空间

一个n个点的无向图，最多有s=n(n-1)/2条边。

一共有2^s种不同的图，其中有e条边的图一共有 $\binom{s}{e}$ 种。

这 $\binom{s}{e}$ 种有e条边的图构成一个随机图子空间，其中每个图出现的概率都是 $1/\binom{s}{e}$

3，随机二分图子空间

考虑完全二分图的边随机出现，得到的是一个随机二分图子空间。

四，随机图参数

随机图参数是图论特有的统计特征。

随机图参数的最可能的值就是均值附近。

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