01背包问题
下述背包问题的分类很详细
代码随想录
在leetcode中主要涉及到01背包和完全背包问题的应用题,因此先从01背包的原理开始学习。
01背包问题:有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
暴力解法复杂度:物品存在取和不取的两种状态,因此是2^N复杂度,因此需要动态规划的方式来解决。
二维背包问题
1、确定数组及下标
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。
2、递推公式
有两个方向推出来dp[i][j],
不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3、初始化
如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。
dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。
4、递归逻辑
需要遍历物品和背包容量
01背包(滚动数组)
代码随想录
上面我们使用了二维数组来进行状态更新,但是如果将dp[i-1]的状态更新到dp[i]上,就可以使用一维数组,称为滚动数组。
1、确定dp数组定义
在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2、递归公式
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
3、初始化
dp[0]=0,其他都初始化为0
4、遍历顺序
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!并且一定要先遍历物品再遍历背包容量。
Leetcode: 416 分割等和子集
这道题转化为背包问题,
1、dp的定义
dp[j]容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]。只是这道题目中背包的价值和重量都是nums[i]
2、递归公式
所以递归公式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3、特殊处理
如果背包的总和为奇数的话,肯定不能分为两个子集,所以可以先剪枝进行判断。
同时这道题需要注意物品的重量和价值是一样的,所以递推公式中dp[j-nums[i]]就是没放进去的价值再加上num[i]就是总体价值。
总背包的重量为sum/2,找到一半就可以了,如果找到的重量==一半的重量就是true。其他情况就是false。
时间复杂度:O(n^2)
空间复杂度:O(n)
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int result = 0;//需要初始化,没有初始化为0会报错for(int i = 0; i < nums.size(); i++){result += nums[i];}if(result % 2 == 1) return false;result = result / 2;//更新背包的重量vector<int> dp(result + 1, 0);//确定dp数组的大小for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = result; j >= nums[i]; j--){//背包问题dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}if(dp[result] == result) return true;return false;}
};