一、python
斐波那契数列的递归实现存在大量的冗余计算。例如，为了计算fib(n)，我们需要计算fib(n-1)和fib(n-2)，但是在计算fib(n-1)的过程中，我们又会重复计算fib(n-2)。当n的值很大时，这种冗余计算会消耗大量的计算资源。
为了解决这个问题，我们可以使用一种称为“记忆化”（Memoization）的技术。记忆化是一种优化技术，它将之前计算的结果存储起来，以便在需要时重新使用，而不是重新计算。
在斐波那契数列的递归实现中，我们可以创建一个缓存（通常是一个字典或数组），用于存储已经计算过的斐波那契数。每次计算新的斐波那契数时，我们首先检查缓存中是否已经存在该结果。如果存在，我们直接返回缓存中的结果，避免了冗余计算。如果不存在，我们进行计算，并将结果存储在缓存中，以便将来使用。
以下是一个使用Python实现的带有记忆化的斐波那契数列递归函数：
def fibonacci(n, cache={}):if n in cache:return cache[n]elif n <= 2:cache[n] = 1else:cache[n] = fibonacci(n-1, cache) + fibonacci(n-2, cache)return cache[n]
在这个函数中，我们使用了一个名为`cache`的字典作为缓存。每次调用函数时，我们首先检查`n`是否已经在`cache`中。如果是，我们直接返回`cache[n]`。否则，我们计算`fibonacci(n)`，并将结果存储在`cache`中。注意，我们在递归调用`fibonacci(n-1, cache)`和`fibonacci(n-2, cache)`时也传递了`cache`，以便在这些递归调用中也可以使用缓存。
二、go
斐波那契数列的递归实现因为重复地计算了很多子问题而效率比较
低。这是一个典型的动态规划问题，可以通过“备忘录”方法优化，即在递归过程中记录已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。
这里给一个使用备忘录优化斐波那契计算的Go代码示例：
package mainimport ("fmt"
)// 计算斐波那契数列的函数，使用备忘录优化递归
func fibonacci(n int, memo map[int]int) int {// 如果这个值已经计算过，直接从备忘录中返回if val, found := memo[n]; found {return val}// 边界条件if n <= 1 {return n}// 递归计算result := fibonacci(n-1, memo) + fibonacci(n-2, memo)// 将计算结果保存到备忘录memo[n] = resultreturn result
}func main() {// 初始化备忘录，用于存储已经计算过的斐波那契数memo := make(map[int]int)// 计算并打印第10个斐波那契数fmt.Println(fibonacci(10, memo))
}
在本例中，备忘录 memo 是一个Go语言的映射（map），它的键（key）是正在计算的 n 的值，而值（value）是对应斐波那契数。在函数 fibonacci 中，如果我们发现已经计算过了，就直接返回存储在 memo 中的结果。如果没有计算过，我们就计算它，并将结果保存到 memo 中，以便后续使用。
这种方法显著减少了计算量，因为每个斐波那契数值只计算一次。递归函数现在有线性的时间复杂度 O(n)，而不是没有优化的递归版本的指数时间复杂度。
