代码随想录算法训练营第三十天 | 重新安排行程、N皇后、解数独-编程知识

重新安排行程

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

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class Solution {private Deque<String> res;private Map<String, Map<String, Integer>> map;public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {map = new HashMap<String, Map<String, Integer>>(); // map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>>res = new LinkedList<>();for (List<String> t : tickets) {Map<String, Integer> temp;if (map.containsKey(t.get(0))) {temp = map.get(t.get(0));temp.put(t.get(1), temp.getOrDefault(t.get(1), 0) + 1);} else {temp = new TreeMap<>(); // 升序maptemp.put(t.get(1), 1);}map.put(t.get(0), temp);}res.add("JFK");backTracking(tickets.size());return new ArrayList<>(res);}private boolean backTracking(int ticketNum) {if (res.size() == ticketNum + 1) {return true;}String last = res.getLast();if (map.containsKey(last)) {for (Map.Entry<String, Integer> target : map.get(last).entrySet()) {int count = target.getValue();if (count > 0) {res.add(target.getKey());target.setValue(count - 1);if (backTracking(ticketNum)) return true;res.removeLast();target.setValue(count);}}}return false;}
}

N皇后

时间复杂度: O(n!)
空间复杂度: O(n)

棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度。
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class Solution {List<List<String>> result = new ArrayList<>();public List<List<String>> solveNQueens(int n) {char[][] chessboard = new char[n][n];for (char[] c : chessboard) {Arrays.fill(c, '.');}backTracking(n, 0, chessboard);return result;}private void backTracking(int n, int row, char[][] chessboard) {if (row == n) {result.add(Array2List(chessboard));return;}for (int col = 0; col < n; ++col) {if (isValid(row, col, n, chessboard)) {chessboard[row][col] = 'Q';backTracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.';}}}private List Array2List(char[][] chessboard) {List<String> list = new ArrayList<>();for (char[] c : chessboard) {list.add(String.copyValueOf(c));}return list;}private boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {// 列for (int i = 0; i < row; ++i) {if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 检查135度对角线for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 检查45度对角线for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j <= n - 1; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;}
}

解数独

二维递归（也就是两个for循环嵌套着递归）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

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递归函数的返回值需要是bool类型：解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

class Solution {public void solveSudoku(char[][] board) {solveSudokuHelper(board);}private boolean solveSudokuHelper(char[][] board) {//「一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，// 一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！」for (int i = 0; i < 9; i++){ // 遍历行for (int j = 0; j < 9; j++){ // 遍历列if (board[i][j] != '.'){ // 跳过原始数字continue;}for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {if (isValidSudoku(i, j, k, board)){board[i][j] = k;if (solveSudokuHelper(board)){ // 如果找到合适一组立刻返回return true;}board[i][j] = '.';}}// 9个数都试完了，都不行，那么就返回falsereturn false;// 因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！// 那么会直接返回， 「这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！」}}// 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了return true;}/*** 判断棋盘是否合法有如下三个维度:*     同行是否重复*     同列是否重复*     9宫格里是否重复*/private boolean isValidSudoku(int row, int col, char val, char[][] board) {// 同行是否重复for (int i = 0; i < 9; i++){if (board[row][i] == val){return false;}}// 同列是否重复for (int j = 0; j < 9; j++){if (board[j][col] == val){return false;}}// 9宫格里是否重复int startRow = (row / 3) * 3;int startCol = (col / 3) * 3;for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++){for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++){if (board[i][j] == val){return false;}}}return true;}
}

总结

回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

回溯算法能解决如下问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

组合问题
（1）for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。
（2）剪枝：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。
（3）如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex；如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex。
（4）去重：used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过；used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过。
切割问题
难点：
切割问题其实类似组合问题；
如何模拟那些切割线；
切割问题中递归如何终止；
在递归循环中如何截取子串；
如何判断回文。
子集问题
（1）在树形结构中子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。
（2）注意：result.add(path);要放在终止条件的上面。
（3）去重和组合中去重是一样的套路，分为树枝去重和树层去重。
（4）子集问题一定要排序。
排列问题
（1）排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
（2）每层都是从0开始搜索而不是startIndex；需要used数组记录path里都放了哪些元素了。
（3）
复杂度
子集问题分析：
时间复杂度： $O(n × 2^n)$ ，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为 $O(2^n)$ ，构造每一组子集都需要填进数组，又有需要 $O (n)$ ，最终时间复杂度： $O(n × 2^n)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ ，递归深度为n，所以系统栈所用空间为 $O (n)$ ，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为 $O (n)$ 。
排列问题分析：
时间复杂度： $O (n!)$ ，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * … 1 = n!。每个叶子节点都会有一个构造全排列填进数组的操作（对应的代码：result.push_back(path)），该操作的复杂度为 $O (n)$ 。所以，最终时间复杂度为：n * n!，简化为 $O (n!)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ ，和子集问题同理。
组合问题分析：
时间复杂度： $O(n × 2^n)$ ，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
空间复杂度： $O (n)$ ，和子集问题同理。
N皇后问题分析：
时间复杂度： $O (n!)$ ，其实如果看树形图的话，直觉上是 $O(n^n)$ ，但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的，最差也就是 $O （ n! ）$ ， $n!$ 表示 $n * (n - 1) * .... * 1$ 。
空间复杂度： $O (n)$ ，和子集问题同理。
解数独问题分析：
时间复杂度： $O(9^m)$ , m是’.'的数目。
空间复杂度： $O(n^2)$ , 递归的深度是 $n^2$ .