1. 似然函数

似然函数在统计学中是一种关于统计模型参数的函数，用于描述在已知随机变量输出结果时，未知参数的可能取值。这个概念起源于对概率和似然性的区分。概率描述的是已知参数时随机变量的输出结果，而似然性则关注在已知随机变量输出结果时，未知参数的可能取值。似然函数可以看作是给定输出结果时，关于参数的函数，其数值上等于给定参数后变量的概率。

2. 最大似然函数

最大似然函数则是似然函数的一种应用，它是一种统计方法，用于求取样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然估计的基本思想是，实验所得到的数据应是理论模型中发生概率最大的情况，因此，我们需要最大化似然函数以得到最优参数。换句话说，最大似然估计就是寻找最优参数，使得观测数据发生的概率最大，从而使得统计模型与真实数据最为相似。

3. 在机器学习中最大似然函数的应用

在机器学习中，最大似然函数是一种常用的参数估计方法。整个建模过程需要一个似然函数来描述在不同模型参数下真实数据发生的概率。通过最大化似然函数，我们可以找到最优参数，使得模型能够更好地拟合真实数据。因此，最大似然函数在机器学习中具有重要的应用价值。

3.1 具体例子

线性回归模型试图找到一条直线（在多维空间中可能是一个超平面），使得这条直线能够最好地拟合给定的数据点。在这个模型中，我们通常假设数据点的噪声服从高斯分布（即正态分布），并且这个分布的均值是由线性回归模型给出的预测值，方差是一个固定的值。

在这个背景下，最大似然函数就可以用来估计线性回归模型的参数。具体来说，我们可以构建一个似然函数，它表示在给定参数下，观测到的数据点的概率。然后，我们通过最大化这个似然函数来找到最优的参数，也就是使得观测到的数据点的概率最大的参数。

这个过程可以通过梯度下降等优化算法来实现。在每一步迭代中，我们计算似然函数的梯度（或者更精确地说，是对数似然函数的梯度），然后根据这个梯度来更新参数。当梯度接近于零时，我们就认为找到了最优的参数。