数据结构：跳表讲解

跳表

    • 1.什么是跳表-skiplist
      • 1.1简介
      • 1.2设计思路
    • 2.跳表的效率分析
    • 3.跳表实现
      • 3.1类成员设计
      • 3.2查找
      • 3.3插入
      • 3.4删除
      • 3.5完整代码
    • 4.skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

1.什么是跳表-skiplist

1.1简介

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。后面我会进行比对。

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A
Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。

skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。


1.2设计思路


（1）假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半（后面讲为什么）。

在这里插入图片描述
这样设计利于查找，查找规则为：

  1. cur表示当前节点，nextV为节点指针数组，j表示下标，key为要查找的值。 其中cur一开始为哨兵节点，j为顶部下标。
  2. 从cur位置向右看，如果key大于右边，就直接向右走，即更新cur为右节点
    (即cur = cur->nextV[j])。
  3. 如果key小于右边或者右边为空，直接向下走，即让j减一。
  4. 右边等于key找到。
  5. 不存在的情况，j最后会走到-1（看后面图解）。

查找存在的情况：
在这里插入图片描述

查找不存在的情况：
在这里插入图片描述


（2）以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图，这样搜索效率就进一步提高了。

在这里插入图片描述


（3）skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新退化成O(n)。


（4）skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图（插入和删除过程后面详细讲，现在只需知道随机层数一样可行）：

在这里插入图片描述



2.跳表的效率分析

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的代码如下：

int RandomLevel()
{int level = 1;//RAND_MAX为rand函数可生成的最大值//即rand()落到[0, RAND_MAX * _p]的概率为_pwhile(rand() < RAND_MAX * _p){level++;}return level;}

根据前面RandomLevel()，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：

  • 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
  • 节点层数恰好等于1的概率为1-p（即第一次就失败）。
  • 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)（第一次成功，第二次失败）。
  • 节点层数大于等于3的概率为p^2， 而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
  • 节点层数大于等于4的概率为p^3， 而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。
  • ……

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：
在这里插入图片描述

现在很容易计算出：

  • 当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
  • 当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。
  • p越大，平均层数越多，时间效率就越快，但太大可能导致空间浪费，故一般都会限制最大层数。

跳表的平均时间复杂度为O(logN)，我会用图解来帮助大家理解大概，但完整推导的过程较为复杂，需要有一定的数学功底，有兴趣的同学，可以参考以下文章中的讲解：

铁蕾大佬的博客：Redis内部数据结构详解(6)——skiplist

在这里插入图片描述



3.跳表实现

本文跳表实现以本题为准：设计跳表

3.1类成员设计

//跳表节点
struct SkiplistNode
{SkiplistNode(int val, int level){_val = val;_nextV.resize(level, nullptr); }int _val;  //节点值vector<SkiplistNode*> _nextV;  //指针数组
};//跳表
class Skiplist {
public:typedef SkiplistNode Node;Skiplist() {srand(time(0));  //设置随机数种子_head = new Node(-1, 1);}double _p = 0.25;  //增加层数的概率int _maxLevel = 32;  //限制最大层数Node* _head;  //哨兵头节点，存储的是无效数据//头节点从一层开始，后面生成了更高层数节点在扩容，减少不必要的查询工作
};

3.2查找

参照设计思路里面讲的即可

bool search(int target) 
{int level = _head->_nextV.size() - 1;  //下标从顶部开始Node* cur = _head;  //从哨兵位开始while(level >= 0){//大于，跳到下个节点//小于或者空，向下走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)  {cur = cur->_nextV[level];}else if(!cur->_nextV[level] || cur->_nextV[level]->_val > target)  {level--;}else  //找到了{return true;}}return false;
}

3.3插入

思路很简单，假设当前插入节点有x层，只需要找到这x层每一层对应的前置节点，然后做简单的链接工作即可。
在这里插入图片描述

//找前置节点
vector<SkiplistNode*> GetPrev(int num)
{//核心是找到每一层的前置节点//本题允许冗余int level = _head->_nextV.size() - 1;vector<SkiplistNode*> prevV(level + 1, nullptr);Node* cur = _head;while(level >= 0){//大于，跳到下个节点//小于或者空，向下走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)  {cur = cur->_nextV[level];}else  {prevV[level] = cur;level--;}}return prevV;
}//插入节点
void add(int num) {vector<SkiplistNode*> prevV = GetPrev(num);//生成节点int n = RandomLevel();Node* newnode = new Node(num, n);if(n > _head->_nextV.size())   //节点层数超过当前最大{_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}//链接节点for(int i = 0; i < n; i++){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}
}

3.4删除

删除大体分两种情况：

  1. 存在该节点，思路与插入类似，假设当前删除节点有x层，只需要找到这x层每一层对应的前置节点，然后做简单的链接工作即可。
  2. 不存在该节点，那找前置节点的时候第0层的右边要么是空，要么就不是目标值。

在这里插入图片描述

删除还有个可优化的点，不做也不影响正确性：
在这里插入图片描述

bool erase(int num) {vector<SkiplistNode*> prevV = GetPrev(num);//随机生成至少有一层节点if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)  //不存在{return false;}else {//记录待删除的节点SkiplistNode* del = prevV[0]->_nextV[0];for(int i = 0; i < del->_nextV.size(); i++){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;//这里不影响正确性，对头节点的多余空间做处理int j = _head->_nextV.size() - 1;while(j >= 0){if(_head->_nextV[j] == nullptr){j--;}else{break;}}_head->_nextV.resize(j + 1);return true;}
}

3.5完整代码

struct SkiplistNode
{SkiplistNode(int val, int level){_val = val;_nextV.resize(level, nullptr); }int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;
};class Skiplist {
public:typedef SkiplistNode Node;Skiplist() {srand(time(0));_head = new Node(-1, 1);}bool search(int target) {int level = _head->_nextV.size() - 1;Node* cur = _head;while(level >= 0){//大于，跳到下个节点//小于或者空，向下走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)  {cur = cur->_nextV[level];}else if(!cur->_nextV[level] || cur->_nextV[level]->_val > target)  {level--;}else  //找到了{return true;}}return false;}vector<SkiplistNode*> GetPrev(int num){//核心是找到每一层的前置节点//本题允许冗余int level = _head->_nextV.size() - 1;vector<SkiplistNode*> prevV(level + 1, nullptr);Node* cur = _head;while(level >= 0){//大于，跳到下个节点//小于或者空，向下走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)  {cur = cur->_nextV[level];}else  {prevV[level] = cur;level--;}}return prevV;}void add(int num) {vector<SkiplistNode*> prevV = GetPrev(num);//链接节点int n = RandomLevel();Node* newnode = new Node(num, n);if(n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}for(int i = 0; i < n; i++){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}}bool erase(int num) {vector<SkiplistNode*> prevV = GetPrev(num);//随机生成至少有一层节点if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)  //不存在{return false;}else {//记录待删除的节点SkiplistNode* del = prevV[0]->_nextV[0];for(int i = 0; i < del->_nextV.size(); i++){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;//这里不影响正确性，对头节点的多余空间做处理int j = _head->_nextV.size() - 1;while(j >= 0){if(_head->_nextV[j] == nullptr){j--;}else{break;}}_head->_nextV.resize(j + 1);return true;}}int RandomLevel(){int level = 1;while(rand() < RAND_MAX * _p){level++;}return level;}double _p = 0.25;int _maxLevel = 32;Node* _head;
};



4.skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

  1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。
    skiplist的优势是：
    a、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。
    b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；
  2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。。
    skiplist优势如下：
    a、遍历数据有序b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。
    b、哈希表扩容有性能损耗。
    c、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力，实现复杂。

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