【C++从0到王者】第四十五站：图

文章目录

  • 一、图的概念
    • 1.图概念
    • 2.顶点与边的概念
    • 3.有向图和无向图
    • 4.完全图
    • 5.邻接顶点
    • 6.顶点的度
    • 7.路径与路径长度
    • 8.简单路径与回路
    • 9.子图
    • 10.连通图与强连通图
    • 11.生成树
  • 二、图的存储结构
    • 1.邻接矩阵
      • 1.1 基本概念
      • 1.2 代码实现
    • 2.邻接表
      • 1.1 基本概念
      • 1.2 代码实现
    • 3.总结

一、图的概念

1.图概念

图（Graph）是由顶点(Vertex)集合及顶点间的关系(边，即edge)组成的一种数据结构：G = (V, E)

如下图所示，是一些常见的图。

其中：我们可以注意到，G2虽然是一颗二叉树，但他也是一个图

其实：树是一种特殊（无环连通的图），图不一定是树

树关注的是节点（顶点）中存的值，图关注的是顶点及边的权值

image-20240217191241892

比如下面的交通网络图中

image-20240217191942826

又比如在社交关系图

image-20240217193020960

顶点就代表着人

边表示两个人是好友，边权值表示亲密度等

像微信、qq等，它是一种无向图，因为需要俩个人都相互添加好友。这是一种强社交关系

像微博、抖音等，它是一种有向图，因为可以单向的关注，是一种弱社交关系。

2.顶点与边的概念

  • 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

  • E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

  • (x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

  • 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间

  • 有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

3.有向图和无向图

  • 在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。

  • 在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

image-20240218224210417

4.完全图

  • 在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1。
  • 在有n个顶点的有向图中，若有n*(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

完全图也就是最稠密的图

5.邻接顶点

  • 在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；

  • 在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

6.顶点的度

  • 顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作dev(v)。
  • 在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。
  • 对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

7.路径与路径长度

路径：

  • 在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：

  • 路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和

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8.简单路径与回路

  • 简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。

  • 若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

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9.子图

  • 子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图

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10.连通图与强连通图

  • 连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

  • 强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图

  • 连通图强调的是从一个顶点可以到达图中的任何其他顶点，而并不要求所有的顶点都互相直接连接。而完全图则是一个更强的条件，它要求图中任意两个顶点之间都存在直接的边。所有的完全图一定是连通图，但并非所有的连通图都是完全图。

11.生成树

  • 生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边

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  • 注意：生成树是无向图的概念，有向图没有生成树

二、图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

1.邻接矩阵

1.1 基本概念

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

image-20240217195412597

不过如果要使用这个邻接矩阵，我们需要的一个步骤是通过顶点也能随时找到对应的下标， 最好是O(1)，所以我们还需要一个map结构

//V代表顶点， W是weight代表权值，Direction代表是有向图还是无向图
template<class V, class W, bool Direction>
class Graph
{
public:
private:vector<V> _vertexs; //顶点集合map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系vector<vector<W>> _edge; //存储边的权值
};

这样的话，两个顶点是否相连，相连权值是多少？我们都可以得知了。

但是如果用下面的结构去存储边，那么就无法得知两个顶点是否相连，相连权值是多少了！

vector<pair<V, V>> edges

我们可以从上面的图中得知

  1. 临界矩阵存储方式非常适合稠密图（边很多的图，因为无论有多少边，始终占据那么多的内存）
  2. 临界矩阵O(1)判断两个顶点的连接关系，并取到权值
  3. 相对而言，不适合查找一个顶点连接的所有边（效率是O(1)）

注意

  1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

  2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替

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  1. 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求

1.2 代码实现

如下所示是邻接矩阵的实现代码

namespace matrix
{//V代表顶点， W是weight代表权值，MAX_W代表权值的最大值，Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{public://图的创建//1. IO输入 不方便测试//2. 图结构关系写到文件，读取文件//3. 手动添加边Graph(const V* a, size_t n){_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);_indexMap[a[i]] = i;}_matrix.resize(n);for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){_matrix[i].resize(n, Max_W);}}size_t GetVertexIndex(const V& v){//return _indexMap[v];auto it = _indexMap.find(v);if (it != _indexMap.end()){return it->second;}else{//assert(false)throw invalid_argument("顶点不存在");return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t dsti = GetVertexIndex(dst);_matrix[srci][dsti] = w;if (Direction == false){_matrix[dsti][srci] = w;}}void Print(){for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;}cout << endl;cout << "  ";for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << _vertexs[i] << " ";}cout << endl;for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){cout << _vertexs[i] << " ";for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (_matrix[i][j] == INT_MAX){cout << "*" << " ";}else{cout << _matrix[i][j] << " ";}}cout << endl;}}private:vector<V> _vertexs; //顶点集合map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵};void TestGraph(){Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);g.AddEdge('0', '1', 1);g.AddEdge('0', '3', 4);g.AddEdge('1', '3', 2);g.AddEdge('1', '2', 9);g.AddEdge('2', '3', 8);g.AddEdge('2', '1', 5);g.AddEdge('2', '0', 3);g.AddEdge('3', '2', 6);g.Print();}
}
  • 在上面的代码中，我们使用了四个模板参数，其中，前两个模板参数分别代表顶点的类型和权值的类型。第三个模板参数表示着权值的最大值，第四个模板参数表示该图是有向图还是无向图。我们默认为无向图
  • 我们的结构中，有三个成员，首先是顶点的集合。因为我们需要知道有哪些顶点，我们可以用一个vector来进行组织，而且由于数组天然有下标，所以我们相当于对每个顶点进行了编号；其次是一个map，这个map的作用就是反映射，因为我们需要通过一个顶点快速的得知它的下标，所以我们最好以空间换时间，使用map进行映射；最后是一个邻接矩阵，根据前面的理论，图的每两个顶点之间的关系可以用邻接矩阵来描述出来。邻接数组的两个下标就代表着这两个顶点，内容代表他们的权值
  • 关于图的构造函数，其实就是要创建一个图，而创建一个图，我们所需要得知的就是有哪些顶点，一共有多少个顶点，我们可以选择直接用一个vector<V>，不过我们也可以用一个const V* 和一个n一样,用c语言的方式去获得顶点的数据。得知了有哪些顶点，那么我们就可以将顶点放入我们成员变量的vector和map中了。建立好映射以后，我们现在要处理这个邻接矩阵了，这个邻接矩阵，我们可以利用第三个模板参数，将内部的所有数据全部变为权值的最大值。上面就是处理好了我们的图了，此时的图是一个个的孤立的结点，没有任何一条边的图
  • 有时候，我们为了方便的获取到每个边映射出来的下标，我们可以专门写一个函数去获取。在函数内部的实现细节中，我们可以直接使用map的[]运算符，也可以自己去先判断一下顶点是否存在，如果存在，则返回，如果不存在则抛出异常
  • 我们目前的图，只是一个个孤立的结点，为了将每个结点连接起来，我们需要写一个函数可以去将两个结点给连接起来。而连接的本质其实就是为邻接矩阵添加边。我们可以先获取到对应结点的下标，然后为srci到dsti先来填好一个数据，如果是无向图，那么还需要在对称位置填写数据，如果是有向图，那么已经结束了。
  • 最后我们可以写一个print函数来打印这个图的顶点以及它的映射的下标，还有它的邻接矩阵，如上代码所示

上面代码的最终运行结果为

image-20240219005839322

2.邻接表

1.1 基本概念

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

  1. 无向图邻接表存储

image-20240217201809242

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可

  1. **有向图邻接表存储 **

image-20240217202444308

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。当然我们也可以在实现一个入度表，这样可以很方便的得知入度

一般来说只需要出边表即可

我们可以得知：

  1. 邻接表适合存储稀疏图
  2. 适合查找一个顶点连接出去的边
  3. 不适合确定两个顶点是否相连及权值

1.2 代码实现

namespace link_table
{template<class W>struct Edge{//int _srci;	//来源点的下标int _dsti;		//目标点的下标W _w;			//权值Edge<W>* _next;    //指向下一个结点Edge(int dsti, const W& w):_dsti(dsti),_w(w),_next(nullptr){}};//V代表顶点， W是weight代表权值,Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向template<class V, class W, bool Direction = false>class Graph{typedef Edge<W> Edge;public:Graph(const V* a, size_t n){_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);_indexMap[a[i]] = i;}_tables.resize(n, nullptr);}size_t GetVertexIndex(const V& v){//return _indexMap[v];auto it = _indexMap.find(v);if (it != _indexMap.end()){return it->second;}else{//assert(false)throw invalid_argument("顶点不存在");return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t dsti = GetVertexIndex(dst);Edge* eg = new Edge(dsti, w);eg->_next = _tables[srci];_tables[srci] = eg;if (Direction == false){Edge* eg = new Edge(srci, w);eg->_next = _tables[dsti];_tables[dsti] = eg;}}void Print(){for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;}cout << endl;for (int i = 0; i < _tables.size(); i++){cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]" << "->";Edge* cur = _tables[i];while (cur){cout << _vertexs[cur->_dsti] << "[" << cur->_dsti << "]" << cur->_w << "->";cur = cur->_next;}cout << "nullptr" << endl;}}private:vector<V> _vertexs; //顶点集合map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系vector<Edge*> _tables; //邻接表};void TestGraph(){string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };Graph<string, int, true> g1(a, 4);g1.AddEdge("张三", "李四", 100);g1.AddEdge("张三", "王五", 200);g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);g1.Print();}
}
  • 在上面代码中，我们为了用邻接表的结构，我们需要先创建一个邻接表的结点的类型，这里我们只实现出边表，那么我们的结点里面一定要包括的是目的地的下标，权值，以及指向下一个结点的指针。这里不需要来源的下标是因为，我们是出边表，只需要记录出到了哪里即可。在我们的成员变量有一个邻接表数组，里面其实已经包括了源头的信息。用目的地创建好边了以后，目的地下标正好就可以找到目的地名字信息了，天然的可以通过我们一开始的映射去找到。
  • 关于图的创建，与前面邻接矩阵不同的是，需要为邻接表数组开辟空间。前面的都是一样的，此时形成的就是一个个孤立结点的图
  • 关于图的添加边，这里需要做的就是先获取到，源头和目的地的下标，然后我们用目的地的下标可以创建一个结点，然后挂接到源头的结点即可。如果是无向图，就需要多挂接一次。
  • 对于打印函数，我们需要先打印出每个源头结点的下标以及它的内容，然后我们去一次遍历每一个链表，去打印它里面的信息。

运行结果如下

image-20240219021150156

3.总结

邻接矩阵和邻接表其实属于相辅相成，各有优缺点的互补结构

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