二叉树（Java）-编程知识

一、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

在这里插入图片描述

二、两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

三、二叉树的性质

若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) (i>0) 个结点;
若规定只有根节点的二叉树的深度为 1 ，则深度为 K 的二叉树的最大结点数是2^k - 1
(k>=0);
对任何一棵二叉树 , 如果其叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1;
假设二叉树有N个节点，一棵二叉树，有n0（度为0的节点）,n1（度为1的节点）,n2（度为2）有N=n0+n1+n2;
一个有N个节点的二叉树，共有N-1条边；
度为0的节点产生0条边，度为1的节点有n1个产生n1条边，度为2的节点有n2个产生2n2条边，N-1=n1+2n2;
联立得n0=n2+1;
对于任意一个二叉树，叶子节点的个数比度为2的节点多一个。
具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为log₂(n+1) 上取整;
2^k-1=n->k=log₂(n+1)
对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
若 i>0 ，双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点
若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子;
若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子。

四、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

五、二叉树的基本操作

1、二叉树的遍历

（1）前中后序遍历

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);

前序遍历
先输出当前节点（初始的时候是root节点）
如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历
如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历

中序遍历
如果当前节点的左子节点不为空，则递归中序遍历
输出当前节点
如果当前的右子节点不为空，则递归中序遍历

后序遍历
如果当前节点的左子节点不为空，则递归后序遍历
如果当前节点的右子节点不为空，则递归后序遍历
输出当前节点

// 前序遍历  
void preOrder(Node root) {  if (root == null) {  return;  }  // 访问根节点  System.out.print(root.data + " ");  // 递归遍历左子树  preOrder(root.left);  // 递归遍历右子树  preOrder(root.right);  
}  // 中序遍历  
void inOrder(Node root) {  if (root == null) {  return;  }  // 递归遍历左子树  inOrder(root.left);  // 访问根节点  System.out.print(root.data + " ");  // 递归遍历右子树  inOrder(root.right);  
}  // 后序遍历  
void postOrder(Node root) {  if (root == null) {  return;  }  // 递归遍历左子树  postOrder(root.left);  // 递归遍历右子树  postOrder(root.right);  // 访问根节点  System.out.print(root.data + " ");  
}

（2）层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

public void levelOrder(TreeNode root){Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if(root != null){queue.offer(root);}while (!queue.isEmpty()){TreeNode top = queue.poll();System.out.print(top.val+" ");if(top.left != null){queue.offer(top.left);}if(top.right != null){queue.offer(top.right);}} 
}

2、基本操作

（1）获取二叉树结点个数：

public int size(Node root){if(root==null)return 0;return size(root.left)+size(root.right)+1;
}

（2）获取叶子结点个数：

// 获取叶子节点的个数
public int getLeafNodeCount(Node root){if(root==null){return 0;}if(root.left==null&&root.right==null){return 1;}return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
}

（3）获取第k层结点个数：

public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k){if(root == null){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}

（4）获取二叉树高度：

public  int getHeight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}int leftH = getHeight(root.left);int rightH = getHeight(root.right);return (leftH > rightH ? leftH :rightH) + 1;
}

（5）检测是否存在value值：

public TreeNode find(TreeNode root,int val){if(root == null) return null;if(root.val == val){return root;}TreeNode leftL = find(root.left,val);if(leftL != null){return leftL;}TreeNode leftLR = find(root.right,val);if(leftLR != null){return leftLR;}return null;
}

（6）是否为完全二叉树：

public boolean isCompleteTree(TreeNode root){Queue<Node> queue = new LinkedList<>();if(root != null){queue.offer(root);}while (!queue.isEmpty()){Node cur = queue.poll();if(cur != null){queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else{break;}}while (!queue.isEmpty()){Node cur = queue.poll();if(cur != null){return false;}}return true;
}

六、总结

通过对二叉树的深入学习，我们可以理解其性质、存储方式以及基本操作，从而在实际问题中灵活运用二叉树来解决各种问题。在实际应用中，我们还需要根据具体问题选择合适的二叉树类型（如满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等）以及相应的存储方式（顺序存储或链式存储）。此外，二叉树的遍历是二叉树操作的基础，需要熟练掌握前序、中序、后序和层序遍历的方法。通过不断练习和实践，我们可以更好地应用二叉树来解决实际问题。