【格与代数系统】特殊的格-编程知识

【格与代数系统】特殊的格

【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

【格与代数系统】基本概念和性质

格 $(L,\leqslant)$ 与其诱导的代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 可以看作格的两种表现形式。

分配格

有界格

有补格

布尔代数

例1

例2

对偶格

软代数

完备格

稠密性

优软代数

小结

分配格

设 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 是格，若其上的两个二元运算满足分配律，即对任意的 $a,b,c\in L$ ，

$a\bigwedge(b\bigvee c)=(a\bigwedge b)\bigvee(a\bigwedge c)\\\\a\bigvee(b\bigwedge c)=(a\bigvee b)\bigwedge(a\bigvee c)$

则称 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 是分配格。

格+分配律 $\rightarrow$ 分配格

有界格

设 $(L,\leq )$ 是格，若 $L$ 既有最大元，又有最小元，则称 $(L,\leq )$ 是有界格。

有界：上、下界均存在

设 $(L,\leq )$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，则对任意 $a\in L$ ,有 $0\leq a \leq 1$ ，且

$a\bigvee1=1,\quad a\bigwedge1=a,\quad a\bigvee0=a,\quad a\bigwedge0=0$

有补格

设 $(L,\leq )$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，设 $a\in L$ ，若存在 $b\in L$ ，使得

$a\bigvee b=1,\quad a\bigwedge b=0$

则称b是a的一个补元。若 $L$ 中的每一个元素都有补元，则称 $(L,\leq )$ 是有补格。

当补元唯一时，用 $a^{c}$ 来表示 $a$ 的补元。

布尔代数

若 $(L,\leq )$ 既是有补格，又是分配格，则称 $(L,\leq )$ 是布尔代数或布尔格。

有补+分配 $\rightarrow$ 布尔代数

若 $(L,\leq )$ 是布尔代数，则 $L$ 中的每一个元素都有唯一的补元。

布尔代数中有三种运算，二元运算 $\bigvee,\bigwedge$ 和一元运算——补运算，因此布尔代数可记为 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 。

布尔代数 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 上的运算满足：

1.复原律： $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$

2.补余律： $a\bigvee a^{\mathrm{c}}=1,a\bigwedge a^{\mathrm{c}}=0$

3.对偶律： $(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c}$

例1

由格 $(\{0,1\},\leqslant)$ 诱导的代数系统 $(\{0,1\},V,\wedge)$ ,其中

$\begin{aligned}a\bigvee b=\max\{a,b\},\quad a\bigwedge b=\min\{a,b\}.\end{aligned}$

设任意的 $a\in\{0,1\}$ , 定义 $a^c=1-a$ , 则代数系统 $(\{0,1\},\bigvee,\bigwedge,\quad^c)$ 是布尔代数.

例2

代数系统 $(\mathcal{P}(X),\bigcup,\bigcap,^c)$ 是布尔代数，且可视其为由格 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ 诱导的代数系统，其中

$A\bigcup B=\sup\{A,B\},\quad A\bigcap B=\inf\{A,B\}.$

对偶格

设 $(L,\leqslant)$ 是格，在其上定义一种补运算，即对任意的 $a\in L$ , 存在唯一的 $a^\mathrm{c}$ 与之对应.若满足

1.复原律 $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$
2.对偶律 $(a\bigvee b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigwedge b^{\mathrm{c}},(a\bigwedge b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigvee b^{\mathrm{c}}$ ,

则称 $(L,\leqslant)$ 是对偶格。

软代数

若 $(L,\leqslant)$ 既是有界格，又是对偶格、分配格，则称 $(L,\leqslant)$ 诱导的代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 是软代数。

布尔代数一定是软代数

完备格

设 $(L,\leqslant)$ 是格，若 $L$ 的任意非空子集的上、下确界都存在，则称 $(L,\leqslant)$ 是完全格或完备格。

完备格一定是有界格

设 $(L,\leqslant)$ 是完备格， $A,B \subseteq L$ ,则有

1. $\bigvee(A\bigcup B)=(\bigvee A)\bigvee(\bigvee B)$

2. $\bigwedge(A\bigcup B)=(\bigwedge A)\bigwedge(\bigwedge B)$

无限分配律：

完备格 $(L,\leqslant)$ ，代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ ，若两个运算满足：

$\begin{aligned}a\wedge(\bigvee_{i\in I}b_i)&=\bigvee_{i\in I}(a\wedge b_i)\\a\vee(\bigwedge_{i\in I}b_i)&=\bigwedge_{i\in I}(a\bigvee b_i)\end{aligned}$

则称 $(L,\leqslant)$ 满足无限分配律