【广度优先搜索】【图论】【并集查找】2493. 将节点分成尽可能多的组-编程知识

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广度优先搜索图论并集查找

LeetCod2493. 将节点分成尽可能多的组

给你一个正整数 n ，表示一个无向图中的节点数目，节点编号从 1 到 n 。
同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条双向边。注意给定的图可能是不连通的。
请你将图划分为 m 个组（编号从 1 开始），满足以下要求：
图中每个节点都只属于一个组。
图中每条边连接的两个点 [ai, bi] ，如果 ai 属于编号为 x 的组，bi 属于编号为 y 的组，那么 |y - x| = 1 。
请你返回最多可以将节点分为多少个组（也就是最大的 m ）。如果没办法在给定条件下分组，请你返回 -1 。

示例 1：
在这里插入图片描述

输入：n = 6, edges = [[1,2],[1,4],[1,5],[2,6],[2,3],[4,6]]
输出：4
解释：如上图所示，

节点 5 在第一个组。
节点 1 在第二个组。
节点 2 和节点 4 在第三个组。
节点 3 和节点 6 在第四个组。
所有边都满足题目要求。
如果我们创建第五个组，将第三个组或者第四个组中任何一个节点放到第五个组，至少有一条边连接的两个节点所属的组编号不符合题目要求。
示例 2：

输入：n = 3, edges = [[1,2],[2,3],[3,1]]
输出：-1
解释：如果我们将节点 1 放入第一个组，节点 2 放入第二个组，节点 3 放入第三个组，前两条边满足题目要求，但第三条边不满足题目要求。
没有任何符合题目要求的分组方式。

提示：
1 <= n <= 500
1 <= edges.length <= 10⁴
edges[i].length == 2
1 <= ai, bi <= n
ai != bi
两个点之间至多只有一条边。

广度优先搜索

注意：可能有多个连通区域，每个连通区域要分别处理。
如果没有环一定可以分组。如果是偶数环一定可以：{n[0]},{n[1],n[n-1]}…{n[n]}。从任何节点开始都可以访问。如果是奇数环一定不可以，以三个边的环为例：第一个顶点在x分组，第二顶点和第三个定点在(x-1)或(x+1)。第二个顶点和第三个顶点只能相差0或2，不会相差1。
下面来严格证明：
节点n1在x分组，通过某条长度m1路径，可以到达n2。则n2可以的分组是：s1 = {x+m1,x+m1-2,x+m1-4 $\cdots$ x-m1+2,x-m1}。
同时n1到n2存在长度为m2的路径。则n2可以分组是：s2 = {x+m2,x+m2-2,x+m2-4 $\cdots$ x-m2+2,x-m2}。
$\textbf{性质一} \begin{cases} 无法分组 & m1,m2奇偶性不同 & \textbf{待证明一} \\ s1 & else \quad if(m1 < m2) & \\ s2 & other \\ \end{cases}$
待证明一: 将s1（s2）所有元素减去x后，如果m1(m2)是奇数（偶数），则全部元素都是奇数（偶数）。如果m1和m2奇偶性不同，两者没有交集。

以任意节点为根，BFS各点是否存在长度奇数和偶数的路径。任意节点同时存在到根节点出度为奇数和偶数的路径则无法分组。淘汰一
如果n1和n2同时存在长度为奇数的路径p1,长度为偶数的路径p2。则任意节点为起点一定存在奇偶路径。
$root^{任意路径}_\rightarrow n1 ^{p1}_\rightarrow n2 路径二：oot^{任意路径}_\rightarrow n1 ^{p2}_\rightarrow n2$
根据性质一，根节点编号为1，其它节点cur编号：1 + (cur到根节点最短距离）
最短距离显然是BFS的优势。

按上述分组方法，任意节点n1,n2不会冲突。

令n1 ，n2到 root的距离为m1,m2。则两这个编号为1+m1,1+m2。不失一般性，令m1 > m2。
n1到n2的最短距离m12 >= m1-m2，否则根节点直接通过n2到n1。
n1 $\rightarrow$ root $\rightarrow$ n2 是n1到n2的路径，他们的长度是m1+m2，根据淘汰一，它和m12的奇偶性相同。m1+m2和m1-m2的奇偶性相同，故这样分组n1和n2不会矛盾。

BFS

BFS状态：节点奇数（偶数）长度，每个节点处理2次，但每个节点的边不是O(1)，所以时间复杂度是O(m)，m是边数。
还要枚举根节点，这样总时间复杂度是：O(nm) 在超时的边缘。

代码

核心代码

class CNeiBo
{
public:	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) {vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}	
};class CUnionFind
{
public:CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize){for (int i = 0; i < iSize; i++){m_vNodeToRegion[i] = i;}m_iConnetRegionCount = iSize;}	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size()){for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {for (const auto& n : vNeiBo[i]) {Union(i, n);}}}int GetConnectRegionIndex(int iNode){int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];if (iNode == iConnectNO){return iNode;}return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);}void Union(int iNode1, int iNode2){const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);if (iConnectNO1 == iConnectNO2){return;}m_iConnetRegionCount--;if (iConnectNO1 > iConnectNO2){UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);}else{UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);}}bool IsConnect(int iNode1, int iNode2){return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);}int GetConnetRegionCount()const{return m_iConnetRegionCount;}vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量{const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();vector<int> vRet(iNodeSize);for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;}return vRet;}std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion(){std::unordered_map<int, vector<int>> ret;const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);}return ret;}
private:void UnionConnect(int iFrom, int iTo){m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;}vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引int m_iConnetRegionCount;
};class CBFS
{
public:CBFS(int iStatuCount, int iInit = -1) :m_iStatuCount(iStatuCount), m_iInit(iInit){m_res.assign(iStatuCount, iInit);}bool Peek(int& statu){if (m_que.empty()){return false;}statu = m_que.front();m_que.pop_front();return true;}void PushBack(int statu, int value){if (m_iInit != m_res[statu]){return;}m_res[statu] = value;m_que.push_back(statu);}void PushFront(int statu, int value){if (m_iInit != m_res[statu]){return;}m_res[statu] = value;m_que.push_front(statu);}int Get(int statu){return m_res[statu];}
private:const int m_iStatuCount;const int m_iInit;deque<int> m_que;vector<int> m_res;
};class CBFS2 : protected CBFS
{
public:CBFS2(int iStatuCount1, int iStatuCount2, int iInit = -1) :CBFS(iStatuCount1* iStatuCount2, iInit), m_iStatuCount2(iStatuCount2){}bool Peek(int& statu1, int& statu2){int statu;if (!CBFS::Peek(statu)){return false;}statu1 = statu / m_iStatuCount2;statu2 = statu % m_iStatuCount2;return true;}void PushBack(int statu1, int statu2, int value){CBFS::PushBack(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2, value);}void PushFront(int statu1, int statu2, int value){CBFS::PushFront(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2, value);}int Get(int statu1, int statu2){return CBFS::Get(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2);}
private:const int m_iStatuCount2;
};class Solution {
public:int magnificentSets(int n, vector<vector<int>>& edges) {auto neiBo = CNeiBo::Two(n, edges, false, 1);CUnionFind uf(neiBo);auto m = uf.GetNodeOfRegion();int iRet = 0;for (const auto& [tmp, v] : m){int iMax = 0;for(const int& root : v ){CBFS2 bfs(n, 2);bfs.PushBack(root, 0, 1);int cur, iOne;while (bfs.Peek(cur, iOne)){const int iDis = bfs.Get(cur, iOne);for (const auto& next : neiBo[cur]){bfs.PushBack(next, (iOne + 1) % 2, iDis + 1);}}				for (const int& node : v){					if ((-1 != bfs.Get(node, 0)) && (-1 != bfs.Get(node, 1))){return -1;}iMax = max(iMax, bfs.Get(node, 0));iMax = max(iMax, bfs.Get(node, 1));}};iRet += iMax;}return iRet;}
};

测试用例

template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{int n;vector<vector<int>> edges;{Solution sln;n = 6, edges = { {1,2},{1,4},{1,5},{2,6},{2,3},{4,6} };auto res = sln.magnificentSets(n, edges);Assert(4, res);}{Solution sln;n = 3, edges = { {1,2},{2,3},{3,1} };auto res = sln.magnificentSets(n, edges);Assert(-1, res);}}

2023年4月

//并集查找
class CUnionFind
{
public:
CUnionFind(int iSize)
{
for (int i = 0; i < iSize; i++)
{
m_vTop.emplace_back(i);
}
m_iSize = m_vTop.size();
}
void Add(int iFrom, int iTo)
{
int iRoot1 = GetTop(iFrom);
int iRoot2 = GetTop(iTo);
if (iRoot1 == iRoot2)
{
return;
}
//增强可理解性
if (iRoot1 < iRoot2)
{
std::swap(iRoot1, iRoot2);
std::swap(iFrom, iTo);
}
m_vTop[iRoot1] = iRoot2;
GetTop(iFrom);
m_iSize–;
}
int GetTop(int iNode)
{
if (iNode == m_vTop[iNode])
{
return iNode;
}
return m_vTop[iNode] = GetTop(m_vTop[iNode]);
}
int Size()const
{
return m_iSize;
}
const vector& Top()
{
for (int i = 0; i < m_vTop.size(); i++)
{
GetTop(i);
}
return m_vTop;
}
std::unordered_map<int, vector> TopNums()
{
Top();
std::unordered_map<int, vector> mRet;
for (int i = 0; i < m_vTop.size(); i++)
{
mRet[m_vTop[i]].emplace_back(i);
}
return mRet;
}

private:
vector m_vTop;
int m_iSize;
};

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
m_vNeiB.resize(n);
m_iN = n;
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
m_vNeiB[v[0] - 1].emplace_back(v[1] - 1);
m_vNeiB[v[1] - 1].emplace_back(v[0] - 1);
uf.Add(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
auto tmp = uf.TopNums();
int iRet = 0;
for (auto& it : tmp)
{
int iCur = 0;
for (const int iRoot : it.second)
{
iCur = max(iCur, bfs(iRoot));
}
iRet += iCur;
}
if (m_bCycle3)
{
return -1;
}
return iRet;
}
int bfs(int iRoot)
{
vector vDis(m_iN,-1);
queue que;
vDis[iRoot] = 1;
que.emplace(iRoot);
while (que.size())
{
const int iCur = que.front();
que.pop();
for (const auto& next : m_vNeiB[iCur])
{
if (-1 != vDis[next])
{
if (( vDis[next] >= 2 ) && (vDis[next] == vDis[iCur]))
{
m_bCycle3 = true;
}
continue;
}
vDis[next] = vDis[iCur] + 1;
que.emplace(next);
}
}
return *std::max_element(vDis.begin(), vDis.end());
}
vector<vector> m_vNeiB;
int m_iN;
bool m_bCycle3 = false;//环的节点为奇数无法完成
};

2023年8月

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
m_iN = n;
CNeiBo2 neiBo2(n, edges, false,1);
vector vRootToMaxLeve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
vRootToMaxLeve[i] = bfs(i, neiBo2.m_vNeiB);
}
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
uf.Union(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
vector vRegionToMaxLeve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
const int iRegion = uf.GetConnectRegionIndex(i);
vRegionToMaxLeve[iRegion] = max(vRegionToMaxLeve[iRegion], vRootToMaxLeve[i]);
}

	for (int i = 0; i < n; i++){const int iRegion = uf.GetConnectRegionIndex(i);if (0 == vRegionToMaxLeve[iRegion]){return -1;}}return std::accumulate(vRegionToMaxLeve.begin(), vRegionToMaxLeve.end(),0);
}
int bfs(int root, const vector<vector<int>>& neiBo)
{vector<int> m_vLeve(m_iN,-1);std::queue<int> que;que.emplace(root);m_vLeve[root] = 1;while (que.size()){const auto cur = que.front();que.pop();const int curLeve = m_vLeve[cur];for (const auto& next : neiBo[cur]){if (-1 == m_vLeve[next]){m_vLeve[next] = curLeve + 1;que.emplace(next);}else{if ((curLeve - 1 != m_vLeve[next]) && (curLeve + 1 != m_vLeve[next])){return -1;}}}}return *std::max_element(m_vLeve.begin(),m_vLeve.end());
}
int m_iN;

};

2023年9月版

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
CNeiBo2 neiBo(n, edges, false, 1);
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
uf.Union(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
auto m = uf.GetNodeOfRegion();
m_vLeve.assign(n, m_iNotMay);
int iRet = 0;
for (const auto& it : m)
{
const int iRegionLeve = Do(it.second, neiBo);
if (iRegionLeve < 0 )
{
return -1;
}
iRet += iRegionLeve;
}
return iRet;
}
int Do(const vector& vNodeOfARegion, const CNeiBo2& neiBo)
{
int iRet = -1;
for (const auto& node : vNodeOfARegion)
{
for (const auto& node1 : vNodeOfARegion)
{
m_vLeve[node1] = m_iNotMay;
}
iRet = max(iRet,bfs(node, neiBo));
}
return iRet;
}
int bfs(int root,const CNeiBo2& neiBo)
{
m_vLeve[root] = 1;
std::queue que;
que.emplace(root);
int iMax = 0;
while (que.size())
{
const auto cur = que.front();
que.pop();
const int leve = m_vLeve[cur] + 1;
iMax = max(iMax, m_vLeve[cur]);
for (const auto next : neiBo.m_vNeiB[cur])
{
if (m_iNotMay == m_vLeve[next])
{
m_vLeve[next] = leve;
que.emplace(next);
}
else if ((leve - 2 != m_vLeve[next]) && (leve != m_vLeve[next]))
{
return -1;
}
}
}
return iMax;
}
vector m_vLeve;
const int m_iNotMay = 1000 * 1000;
};

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视频课程

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