算法详解——图的深度优先遍历和广度优先遍历-编程知识

一、图结构

图结构指的是如下图所示的由节点和边组成的数据。

在这里插入图片描述

二、深度优先遍历

2.1 图的遍历

图的遍历任务指的是从图中某个节点开始，遍历得到图中所有节点的过程。

2.2 深度优先遍历过程

假设我们从1号节点开始进行深度优先遍历。遍历的步骤如下：首先，我们选择1号顶点作为起始点。从1号顶点开始，我们尝试沿着边访问尚未到达过的顶点。我们发现2号顶点是未到达过的，所以我们移动到2号顶点。现在，以2号顶点为起点，我们继续尝试访问其他未到达过的顶点。这样，我们又到达了4号顶点。接着，以4号顶点为起点，我们尝试访问其他未到达过的顶点。然而，此时我们无法再通过4号顶点的边访问其他未到达过的顶点，所以我们需要回到2号顶点。回到2号顶点后，我们发现沿着2号顶点的边也无法再访问其他未到达过的顶点。因此，我们需要继续回到1号顶点。现在，我们继续检查1号顶点的边，看看是否还有其他未到达过的顶点。这时我们到达了3号顶点，然后以3号顶点为起点继续访问其他未到达过的顶点，最后到达了5号顶点。此时，所有顶点都已经被访问过，遍历结束。遍历的顺序如下图所示：

在这里插入图片描述

2.3 深度优先遍历核心思想

深度优先遍历的核心思想在于：首先选择一个未被访问过的顶点作为起始点，然后沿着当前顶点的边前进到未被访问过的顶点。当当前顶点没有未访问过的邻居顶点时，则回溯到上一个顶点，继续试探访问其他顶点，直到所有的顶点都被访问过为止。显然，深度优先遍历是沿着图的某一条分支遍历直到末端，然后回溯，再沿着另一条分支进行同样的遍历，直到所有的顶点都被访问过为止。

2.4 深度优先遍历实现

如何将这一过程用代码实现呢？在讨论代码实现之前，我们需要先解决如何存储一个图的问题。最常用的方法是使用一个二维数组 $e$ 来表示，具体如下所示：

在这里插入图片描述

上图中的二维数组中，第 $i$ 行第 $j$ 列表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 是否存在一条边。其中， $1$ 表示存在边， $\infty$ 表示不存在边。我们将自己到自己的路径（即 $i$ 等于 $j$ ）设为 $0$ 。这种图的存储方式被称为邻接矩阵存储法。

注意观察的同学会发现，这个二维数组沿主对角线对称。这是因为上述图是无向图。无向图指的是图的边没有方向性，例如边1-5表示，1号顶点可以到达5号顶点，同时5号顶点也可以到达1号顶点。

接下来，我们将解决如何使用深度优先搜索来实现图的遍历。

// C 代码#include <stdio.h>int book[101], sum, n, e[101][101];void dfs(int cur) // cur 是当前所在的顶点编号
{int i;printf("%d ", cur);sum++; // 每访问一个顶点，sum就加1if (sum == n)return; // 所有的顶点都已经访问过则直接退出for (i = 1; i <= n; i++) // 从1号顶点到n号顶点依次尝试，看哪些顶点与当前顶点cur有边相连{// 判断当前顶点cur到顶点i是否有边，并判断顶点i是否已访问过if (e[cur][i] == 1 && book[i] == 0){book[i] = 1; // 标记顶点i已经访问过dfs(i);      // 从顶点i再出发继续遍历}}return;
}int main()
{int i, m, a, b;scanf("%d %d", &n, &m);// 初始化二维矩阵for (i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (i == j)e[i][j] = 0;elsee[i][j] = 999999999; // 我们这里假设99999999为正无穷}}// 读入顶点之间的边for (i = 1; i <= m; i++){scanf("%d %d", &a, &b);e[a][b] = 1;e[b][a] = 1; // 这里是无向图，所以需要将e [b] [a]也赋为1}// 从1号城市出发book[1] = 1; // 标记1号顶点已访问dfs(1);      // 从1号顶点开始遍历getchar();getchar();return 0;

# Python 代码def dfs(cur):global sumprint(cur, end=" ")sum += 1if sum == n:returnfor i in range(1, n + 1):if e[cur][i] == 1 and book[i] == 0:book[i] = 1dfs(i)if __name__ == "__main__":book = [0] * 101sum = 0n, m = map(int, input().split())e = [[0] * 101 for _ in range(101)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):if i == j:e[i][j] = 0else:e[i][j] = 999999999  # 我们这里假设99999999为正无穷for _ in range(m):a, b = map(int, input().split())e[a][b] = 1e[b][a] = 1  # 这里是无向图，所以需要将e [b] [a]也赋为1book[1] = 1dfs(1)

在上面的代码中变量cur存储的是当前正在遍历的顶点，二维数组e存储的就是图的边(邻接矩阵)，数组book用来记录哪些顶点已经访问过，变量sum用来记录已经访问过多少个顶点，变量n存储的是图的顶点的总个数。完整代码如下。

三、广度优先遍历

3.1 广度优先遍历过程

广度优先遍历结果如下图所示：
在这里插入图片描述

使用广度优先遍历这个图的过程如下：首先选择一个未被访问过的顶点作为起始顶点，例如以1号顶点为起点。将1号顶点放入队列中，然后将与1号顶点相邻的未访问过的顶点，即2号、3号和5号顶点依次放入队列中。如下图所示：

在这里插入图片描述

接下来，将2号顶点相邻的未访问过的顶点4号顶点放入队列中。到此，所有顶点都被访问过，遍历结束。如下图所示：

在这里插入图片描述

3.2 广度优先遍历核心思想

广度优先遍历的主要思想是：首先选择一个未被访问过的顶点作为起始顶点，然后访问其所有相邻的顶点。接着，对于每个相邻的顶点，再访问它们相邻的未被访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过，遍历结束。

3.3 广度优先遍历实现

// C 代码#include <stdio.h>int main() {int i, j, n, m, a, b, cur, e[101][101], book[101] = {0}, que[10001], head, tail;scanf("%d %d", &n, &m);// 初始化二维矩阵for (i = 1; i <= n; i++) {for (j = 1; j <= n; j++) {if (i == j)e[i][j] = 0;elsee[i][j] = 99999999; // 我们这里假设99999999为正无穷}}// 读入顶点之间的边for (i = 1; i <= m; i++) {scanf("%d %d", &a, &b);e[a][b] = 1;e[b][a] = 1; // 这里是无向图，所以需要将e[b] [a]也赋值为1}// 队列初始化head = 1;tail = 1;// 从1号顶点出发，将1号顶点加入队列que[tail] = 1;tail++;book[1] = 1; // 标记1号顶点已访问1// 当队列不为空的时候循环while (head < tail) {cur = que[head]; // 当前正在访问的顶点编号for (i = 1; i <= n; i++) { // 从1~n依次尝试// 判断从顶点cur到顶点i是否有边，并判断顶点i是否已经访问过if (e[cur][i] == 1 && book[i] == 0) {// 如果从顶点cur到顶点i有边，并且顶点i没有被访问过，则将顶点i入队que[tail] = i;tail++;book[i] = 1; // 标记顶点i已访问}// 如果tail大于n，则表明所有顶点都已经被访问过if (tail > n)break;}head++; // 当一个顶点扩展结束后，head++，然后才能继续往下扩展}for (i = 1; i < tail; i++)printf("%d ", que[i]);return 0;
}

# Python 代码def main():n, m = map(int, input().split())e = [[0] * 101 for _ in range(101)]book = [0] * 101que = [0] * 10001head = tail = 1# 初始化二维矩阵for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):if i == j:e[i][j] = 0else:e[i][j] = 99999999  # 我们这里假设99999999为正无穷# 读入顶点之间的边for _ in range(m):a, b = map(int, input().split())e[a][b] = 1e[b][a] = 1  # 这里是无向图，所以需要将e[b][a]也赋值为1# 从1号顶点出发，将1号顶点加入队列que[tail] = 1tail += 1book[1] = 1  # 标记1号顶点已访问# 当队列不为空的时候循环while head < tail:cur = que[head]  # 当前正在访问的顶点编号for i in range(1, n + 1):  # 从1~n依次尝试# 判断从顶点cur到顶点i是否有边，并判断顶点i是否已经访问过if e[cur][i] == 1 and book[i] == 0:# 如果从顶点cur到顶点i有边，并且顶点i没有被访问过，则将顶点i入队que[tail] = itail += 1book[i] = 1  # 标记顶点i已访问# 如果tail大于n，则表明所有顶点都已经被访问过if tail > n:breakhead += 1  # 当一个顶点扩展结束后，head++，然后才能继续往下扩展for i in range(1, tail):print(que[i], end=" ")if __name__ == "__main__":main()