题目

小强现在有$n$个物品，每个物品有两种属性$x^i$和$y^i$。他想要从中挑出尽可能多的物品满足以下条件:对于任意两个物品$i$和$j$，满足$x^i<x^j且y^i<y^j$或者$x^i>x^j且y^i>y^j$. 问最多能够挑出多少物品

输入描述

第一行输入一个正整数$T$.表示有$T$组数据.
对于每组数据,第一行输入一个正整数$n$.表示物品个数.
接下来两行,每行有$n$个整数.
第一行表示$n$个节点的$x$属性.
第二行表示$n$个节点的$y$属性.

$$\begin{gathered} 1<=T<=10 \\ 2<=n<=100000 \\ 0<=x,y<=1000000000 \end{gathered}$$

输出描述

输出$T$行,每一行对应每组数据的输出.

示例

输入例子：
2
3
1 3 2
0 2 3
4
1 5 4 2
10 32 19 21
输出例子：
2
3

分析

这题看上去比较绕，我们先以示例入手，简单拆解一下

现在，我们将目光聚焦于绿框部分，如下图所示

我们需要选出若干个红框，使得红框组成x属性严格递增的序列时，同时保证y属性也严格递增。且选择红框数量尽可能大

例如，我们选择1，3红框，能够实现双递增序列：
1 -> 3
0 -> 2

2，3红框无法实现双递增序列：
2 -> 3
3 -> 2
（红框元素被绑定死，不能随意组合x，y中任意下标的元素）

如果我们选择1，2，3红框，无法实现递增序列，因为2，3无法形成双递增序列

思路

1. 设计数据结构，将x，y对应下标元素组合再一起。例如构建如下数据结构

   class Node {public int x;public int y;
   }
   Node[] nodes = new Node[N];
   

2. 对Node的x属性排序，保证nodes按照x非递减排序
3. 对排序后的y属性进行筛选，选出最长递增子序列

tip: 此处需要注意，nodes无法按照x严格递增。因为可能存在若干个具有相同x值的node。因此在排序时，如果x相同，需要按照y降序排序。因为这样在对y进行筛选时，在x相同情况下，只能选择一个y最为最终序列。
例如：
1 9 9
3 8 7
最终会只能选择3， 8 | 3，7。如果x相同，但是不按照y降序，则可能会选择3，7，8.导致重复选择相同的x，而无法保证x严格递增

最长递增子序列

目前有两种解法

1. dp
2. binarySearch + 贪心

dp和bs算法已经有非常多成熟的文章，感兴趣的读者可以自行了解上述两篇文章，本文只给出ac代码

dp解法（2/10）

import java.util.*;public class Main {static class Node {public int x;public int y;public Node() {}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int T = sc.nextInt();int n;for (int i = 0; i < T; ++i) {n = sc.nextInt();Node[] x = new Node[n];// 存储 x - yfor (int j = 0; j < n; ++j) {Node node = new Node();node.x = sc.nextInt();x[j] = node;}for (int j = 0; j < n; ++j) {x[j].y = sc.nextInt();}// 排序Arrays.sort(x, (Node a, Node b) -> {if (a.x != b.x) return a.x - b.x;else return - (a.y - b.y);});int[] y = new int[n];for (int j = 0; j < n; ++j) {y[j] = x[j].y;}// 求最长递增子序列int[] dp = new int[n];dp[0] = 1;int maxn = 1;for (int j = 1; j < n; ++j) {dp[j] = 1;for (int k = 0; k < j; ++k) {if (y[j] > y[k]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[k] + 1);}maxn = Math.max(maxn, dp[j]);}System.out.println(maxn);}}
}

binarySearch + 贪心（AC）

import java.util.*;public class Main {static class Node {public int x;public int y;public Node() {}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int T = sc.nextInt();int n;for (int i = 0; i < T; ++i) {n = sc.nextInt();Node[] x = new Node[n];// 存储 x - yfor (int j = 0; j < n; ++j) {Node node = new Node();node.x = sc.nextInt();x[j] = node;}for (int j = 0; j < n; ++j) {x[j].y = sc.nextInt();}// 排序Arrays.sort(x, (Node a, Node b) -> {if (a.x != b.x) return a.x - b.x;else return - (a.y - b.y);});int[] y = new int[n];for (int j = 0; j < n; ++j) {y[j] = x[j].y;}// 求最长递增子序列int len = 1;int[] d = new int[n + 1];d[len] = y[0];for (int j = 1; j < n; ++j) {// y[j] 大于d当前最末尾元素if (y[j] > d[len]) {d[++len] = y[j];}else {int lef = 1, rig = len, ans = 0;while (lef <= rig) {int mid = (lef + rig) >> 1;if (d[mid] < y[j]) {ans = mid;lef = mid + 1;}else {rig = mid - 1;}}d[ans + 1] = y[j];}}System.out.println(len);}}
}