算法基础课-搜索与图论

DFS

题目链接：842. 排列数字 - AcWing题库
思路：写的很好的题解AcWing 842. 排列数字--深度优先遍历代码+注释 - AcWing

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int n;
int st[10];
vector<int> a;
void dfs(){if(a.size() == n){for(int i=0;i<n;i++){cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;}for(int i=1;i<=n;i++){if(!st[i]){a.push_back(i);st[i] = true;dfs();a.pop_back();st[i] = false;}}
}int main()
{cin>>n;dfs();return 0;
}

也可以考虑使用c++自带的next_permutation函数直接秒了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> a;
int n;
int st[10];int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) st[i] = i+1;do{for(int i=0;i<n;i++) cout<<st[i]<<" ";cout<<endl;}while(next_permutation(st,st+n));return 0;
}

BFS

题目链接：844. 走迷宫 - AcWing题库

思路：由于bfs是一层一层扩展，所以能保证走到终点时，走过的距离最短，所以不需要取min。可以在bfs中判断一下，走到终点直接输出终点的distance。

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
int n,m;
const int N = 110;
int g[N][N];
int dist[N][N];
int dx[4]={0,1,0,-1},dy[4]={1,0,-1,0};
// int st[N][N];
void bfs(int x,int y){queue<PII> q;q.push({x,y});dist[0][0] = 0;// st[x][y] = true;while(q.size()){auto t = q.front();q.pop();int x = t.x,y = t.y;for(int i=0;i<4;i++){int tx = x + dx[i];int ty = y + dy[i];if(g[tx][ty] == 1) continue;if(tx<0||tx>=n||ty<0||ty>=m) continue;// if(st[tx][ty]) continue;// st[tx][ty] = true;g[tx][ty] = 1;dist[tx][ty] = min(dist[tx][ty],dist[x][y]+1);q.push({tx,ty});// cout<<tx<<" "<<ty<<endl;}}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m;j++) cin>>g[i][j];}memset(dist,0x3f,sizeof dist);bfs(0,0);cout<<dist[n-1][m-1];return 0;
}

树与图的深度优先遍历

题目链接：1207. 大臣的旅费 - AcWing题库

思路：题意是求树的直径（树中两个最远结点的距离），可以随机找一个点0，走到距离0点最远的点1，再从这个点1走到距离点1最远的点2，此时点1距离点2的距离就是树的直径。

图的存储与遍历参考：B02 图的存储_哔哩哔哩_bilibili

#include<bits/stdc++.h>
#define x first 
#define y second using namespace std;
const int N = 100010;
typedef pair<int,int> PII;
vector<PII> h[N];
int dist[N];
void dfs(int u,int father,int distance){dist[u] = distance;for(auto t:h[u]){if(t.x!=father){dfs(t.x,u,distance+t.y);}}}int main(){int n ;cin>>n;for(int i=0;i<n-1;i++){int x,y,d;cin>>x>>y>>d;h[x].push_back({y,d});h[y].push_back({x,d});}dfs(1,-1,0);int u = 1;for(int i=1;i<=n;i++){if(dist[i]>dist[u]){u = i;}}dfs(u,-1,0);for(int i=1;i<=n;i++){if(dist[i]>dist[u]){u = i;}}int s = dist[u];printf("%lld\n", s * 10 + s * (s + 1ll) / 2);return 0;
}

树与图的广度优先遍历

题目链接：847. 图中点的层次 - AcWing题库

思路：h数组表示邻接表，下标表示结点编号，每个vector存储的是每个结点能到达的节点。

这个老师讲的超级好。B02 图的存储_哔哩哔哩_bilibili

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 100010;
vector<int> h[N];
bool st[N];
int dist[N];
int n,m;
void bfs(int u){queue<int> q;q.push(u);st[u] = true;dist[u] = 0;while(q.size()){int t = q.front();q.pop();if(t == n){cout<<dist[t];return;}for(int i=0;i<h[t].size();i++){int ne = h[t][i];if(st[ne]) continue;st[ne] = true;q.push(ne);dist[ne] = dist[t] + 1;}}cout<<-1<<endl;return;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b;cin>>a>>b;h[a].push_back(b);}memset(dist,-1,sizeof dist);bfs(1);return 0;
}

拓扑排序

题目链接：848. 有向图的拓扑序列 - AcWing题库
思路：跟bfs有些相似，先找入度为零的点加入到队列当中，再枚举当前结点出边，减少出边元素的入度，当入度为0时加入到拓扑序列中，这里是当出队的时候加入到序列中，跟bfs更像了。

这个老师讲的可好D01 拓扑排序_哔哩哔哩_bilibili。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 100010;
vector<int> e[N],tp;
int din[N];int n,m;
bool topsort(){queue<int> q;for(int i=1;i<=n;i++){if(din[i] == 0) q.push(i);}while(q.size()){auto t = q.front();q.pop();tp.push_back(t);for(auto y : e[t]){din[y]--;if(!din[y]) q.push(y);} }return tp.size() == n;
}int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b;cin>>a>>b;e[a].push_back(b);din[b]++;}if(topsort()){for(int i = 0;i<n;i++){cout<<tp[i]<<" ";}}else cout<<-1<<endl;return 0;
}

Dijkstra

朴素版

题目链接：849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库
思路：采取贪心的策略，对当前能到达的路径最短的点，使用其进行更新距离操作。

D02 最短路 Dijkstra 算法_哔哩哔哩_bilibili

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 510;
const int M = 1e5+10;
vector<PII> e[N];
int dist[N];
int n,m;
bool st[N];
void dijkstra(int s){dist[s] = 0;for(int i=1;i<n;i++){int u = 0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!st[i]&&(dist[i]<dist[u] || u == 0)) u = i;}// cout<<u<<endl;st[u] = true;for(auto pr : e[u]){int v = pr.x, w = pr.y;if(dist[v]>dist[u]+w){dist[v] = dist[u] + w;}}}
}int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b,w;cin>>a>>b>>w;e[a].push_back({b,w});}memset(dist,0x3f,sizeof dist);dijkstra(1);if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) cout<<-1<<endl;else cout<<dist[n]<<endl;return 0;
}

堆优化版本

题目链接：850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库

思路：每次选秀选出当前最小的点，朴素版需要遍历寻找，堆优化版使用优先队列维护当前没有遍历到的距离最小的点，将每次选秀的遍历替换成取队列头部元素，从而降低时间复杂度。

需要注意的是为了维护优先队列中的顺序，存储的距离为负数。

D02 最短路 Dijkstra 算法_哔哩哔哩_bilibili

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n,m;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 150010, M = 150010;
int dist[N];
priority_queue<PII> q;
vector<PII> h[N];
bool st[N];
void dijkstra(int s){dist[s] = 0;q.push({0,s});while(q.size()){PII p = q.top();int u = p.y;q.pop();if(st[u]) continue;st[u] = true;for(auto t : h[u]){int v = t.x, w = t.y;if(dist[v]>dist[u] + w){dist[v] = dist[u] + w;  //忘记更新距离q.push({-(dist[u]+w),v});}}}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;h[a].push_back({b,c});}memset(dist,0x3f,sizeof dist);dijkstra(1);if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) cout<<-1<<endl;else cout<<dist[n]<<endl;return 0;
}

bellman-ford

spfa

Floyd

题目链接：854. Floyd求最短路 - AcWing题库

思路：D04 最短路 Floyd 算法_哔哩哔哩_bilibili

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210,INF = 1e9;
int n,m,Q;
int d[N][N];
void floyd(){for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}
}
int main(){cin>>n>>m>>Q;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j) d[i][j] = 0;else d[i][j] = INF;}}	while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;d[a][b] = min(d[a][b],c);}floyd();while(Q--){int a,b;cin>>a>>b;int t = d[a][b];if(t>INF/2) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<t<<endl;}return 0;
}

Prim

题目链接：858. Prim算法求最小生成树 - AcWing题库

思路：D07 最小生成树 Prim 算法_哔哩哔哩_bilibili

和dijkstra一样，n次循环，每次选取最近的点来更新距离。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim(){memset(dist,0x3f,sizeof dist);int res = 0;for(int i=0;i<n;i++){int t = -1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))t = j;}if(i && dist[t]==INF) return INF;if(i) res += dist[t];st[t] = true;for(int j=1;j<=n;j++) dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);}return res;
}int main(){cin>>n>>m;memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);}int t = prim();if(t==INF) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<t<<endl;return 0;
}

Kruskal

题目链接：859. Kruskal算法求最小生成树 - AcWing题库

思路：Kruskal算法是根据边求取最小生成树，先按边权排序，依次取权重最小的边，查看边的起点和终点是否在同一集合中（使用并查集），若不在同一集合，则将边加入到答案中，若在同一集合则继续循环。D08 最小生成树 Kruskal 算法_哔哩哔哩_bilibili

需要注意的是重载小于号的操作要记一下。

#include<bits/stdc++.h>
// #define x first
// #define y second
using namespace std;
// typedef pair<int,int> PII;
int n,m;
const int N = 1e5+10,M = 2e5+10;
struct edge{int u;int v;int w;bool operator<(const edge &t)const{return w<t.w;}
}e[M];
// vector<edge> e;
int fa[N];
int find(int x){if(x == fa[x]) return x;return fa[x] = find(fa[x]);
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;e[i] = {a,b,c};}int ans = 0;int cnt = 0;sort(e,e+m);for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;for(int i=0;i<m;i++){int u = e[i].u;int v = e[i].v;int w = e[i].w;if(find(u)!=find(v)){ans += w;   fa[find(u)] = find(v);cnt++;}}if(cnt == n-1) cout<<ans<<endl;else cout<<"impossible"<<endl;return 0;
}

染色法判定二分图

题目链接：860. 染色法判定二分图 - AcWing题库
思路：二分图的意思是看是否有能将所有节点分成两块，每块的节点中不能直接相连这样的情况存在。如下图中的1,4和2,3,5。根据定理：二分图中不存在奇环，我们可以由此判别一个图是否是二分图。D24 二分图判定 染色法_哔哩哔哩_bilibili

老师使用的是链式前向星存储的图结构，具体思路如下。感觉直接用邻接表存储更好想，也更简便。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int n,m;
const int N = 100010,M = 100010;
vector<int> h[N];
int color[N];
bool dfs(int u,int c){color[u] = c;for(auto t : h[u]){if(!color[t]){if(dfs(t,3-c)) return 1;}else if(color[t] == c) return 1;}return 0;
}int main(){cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int a,b;cin>>a>>b;h[a].push_back(b);h[b].push_back(a);}bool flag = false;for(int i =1;i<=n;i++){if(!color[i]){if(dfs(i,1)){flag = 1;break;}}}if(flag) puts("No");else puts("Yes");return 0;}

匈牙利算法

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