2、卡片

笔记：

直接巧用排列组合求解即可：

我们通过对样例说明进行分析可知：想要分给n个小孩，那么我们就需要满足C(K, 2) + K >= n才能满足。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int com(int up, int down){if(up > down)	return 0;if(up == down)	return 0;int res = 1;for(int i = 1; i <= up; i++){res = res * (down - i + 1) / i;}return res;
}int main(){int n;cin >> n;int down = 2;while(com(2, down) + down < n){down++;} cout << down << endl;return 0;
}

4、货物摆放：

题目：

小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。

现在，小蓝有 n 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。

小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的长方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L、W、H 的货物,满足 n = L×W×H。

给定 n，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。

例如，当 n = 4 时，有以下 6种方案：1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、2 × 2 × 1、4 × 1 × 1

请问，当 n = 2021041820210418（注意有 16 位数字）时，总共有多少种方案？
 

笔记：

这道题三重暴力循环会超时，因为n太大了，所以我们需要将预处理数据的大小压缩一下，因为n = l * h * w,所以我们可以只求l，h，w的组合，为了不在从0开始一个一个得去找找三个符合的数，我们可以直接去获取n的所有因子的数列，再从这个数列中去找到符合的l，h，w的值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
vector<ll> res(1e7, 0);
ll n = 2021041820210418;
int main(){ll index = 0;for(ll i = 1; i <= sqrt(n); i++){if(n % i == 0){res[index++] = i;if(i * i != n){res[index++] = n / i;}}}res.resize(index + 1);ll count = 0;for(ll l = 0; l < res.size(); l++){for(ll h = 0; h < res.size(); h++){for(ll w = 0; w < res.size(); w++){if(res[l] * res[h] * res[w] == n){count++;}}}}cout << count;return 0;
}

3、直线

题目：

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上， 那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 2 × 3 个整点(�,�)∣0≤�<2,0≤�<3,�∈�,�∈�(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z​，即横坐标 是 00 到 11 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数 的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。

给定平面上 20×2120×21 个整点 (�,�)∣0≤�<20,0≤�<21,�∈�,�∈�(x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z，即横 坐标是 00 到 1919 (包含 00 和 1919) 之间的整数、纵坐标是 00 到 2020 (包含 00 和 2020​) 之 间的整数的点。

请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

笔记：

这道题我们就遵循一个原则：两点确定一条直线，我们只需要找到斜率是独一无二的直线即可，有公式y = k*x + b我们可以获取两点连成直线的斜率以及b，接着就暴力搜索出符合的（k， b），这里我们需要注意的是要对这些组合进行去重，我们可以使用set容器来去重，最后我们还需要注意：还存在斜率不存在的直线也就是平行于x轴的直线，最后就是将set容器的大小再加上这些平行于x轴的直线的数组即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;set<pair<double, double> > st;
int main(){for(int x1 = 0; x1 < 21; x1++){for(int y1 = 0; y1 < 20; y1++){for(int x2 = x1 + 1; x2 < 21; x2++){for(int y2 = 0; y2 < 20; y2++){double k = (double)(y1 - y2) / (x1 - x2);double b = (double)(x1 * y2 - x2 * y1) / (x1 - x2);st.insert(make_pair(k, b));}}}}cout << st.size() + 21;return 0;
}

7、砝码称重：

题目：

你有一架天平和 �N 个砝码，这 �N 个砝码重量依次是 �1,�2,⋅⋅⋅,��W1​,W2​,⋅⋅⋅,WN​。

请你计算一共可以称出多少种不同的重量？ 注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 �N。

第二行包含 �N 个整数：�1,�2,�3,⋅⋅⋅,��W1​,W2​,W3​,⋅⋅⋅,WN​。

输出格式

输出一个整数代表答案。

样例输入

3
1 4 6

样例输出

10

样例说明

能称出的 1010 种重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、111、2、3、4、5、6、7、9、10、11​。

1=1；1=1；

2=6−4(2=6−4(天平一边放 66，另一边放 4)；4)；​

3=4−1；3=4−1；

4=4；4=4；

5=6−1；5=6−1；​

6=6；6=6；

7=1+6；7=1+6；

9=4+6−1；9=4+6−1；

10=4+6；10=4+6；

11=1+4+6。11=1+4+6。

笔记：

这道题可以采用bfs的思想与背包思想相结合：

我们在这里将dp数组设为：前i个元素能否凑成j的bool值，将dp[0][0]初始化为0，接着然后我们遍历dp数组，如果dp[i - 1][j] = true呢么i个元素也一定可以凑成j，所以dp[i][j] = true，然后开始扩散：dp[i][j + nums[i]] = true,dp[i][j - nums[i]] = true,dp[i][nums[i] - j] = true;

扩散完一遍，我们就可以对数组进行检查，如果dp[i][j] = true那么就count ++。

有几点需要注意的是：

（1）这里我们在输入nums数组的时候不可以从0开始加入元素，因为为了符合后续dp数组的遍历：i表示前i个元素，所以我们的nums数组要从1开始。

（2）在dp数组中进行遍历搜索的时候我们无需提前判断当前dp[i][j]是否为false，因为我们是符合了bfs一层一层向外扩散，所以我们不单单是对fasle的dp元素进行判断处理，对true的dp元素也一样要判断处理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){int n;cin >> n;vector<int> nums(n + 1, 0);int sum = 0;int count = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> nums[i];sum += nums[i];}vector<vector<bool> > dp(n + 1, vector<bool>(sum + 1, false));dp[0][0] = true;// 前i中元素是否能够凑成j for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= sum; j++){if(dp[i][j] == false){if(dp[i - 1][j] == true){dp[i][j] = true;dp[i][j + nums[i]] = true; // 会略过nums[0]的情况。 if(j > nums[i]){dp[i][j - nums[i]] = true;}else{dp[i][nums[i] - j] = true;}}}}}for(int j = 1; j <= sum; j++){if(dp[n][j])	count++;}cout << count;return 0;
}

10、括号序列：

题目：

笔记：

（1）首先明确dp数组含义：

dp[ i ][ j ]:表示第i个右括号前添加j个左括号的组合数。

（2）状态转移方程：

dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ 0 ] + ......... + dp[ i - 1 ][ j ]:

也就是i-1号有括号前加0个左括号，i - 1号右括号到i好有括号之间加j个左括号 到i - 1号有括号前加j个左括号， i- 1号右括号到i号右括号之间加0个左括号。

通过对上面状态转移方程的进一步分析我们就可以发现并不能从0开始遍历，我们的i的遍历范围是从第一个到第n个，那我们j的遍历范围就应该是从（i  - suml（前面剩余的左括号的数量） -----  j）也就是目的是让前面的合法。

（3）初始化：

按照我们定义的含义来分析：首先看第一个右括号前面我们如没有剩余的左括号，那么添加1 - j的左括号的方案数都为1，若果有剩余左括号那么前面添加0个左括号的方案数为1。