1 定义
- 取样处理就是对连续信号的离散化处理
p ( t ) p(t) p(t) 是开关函数
f s ( t ) = f ( t ) ⋅ p ( t ) f_s(t)=f(t)\cdot p(t) fs(t)=f(t)⋅p(t)
- 当 p ( t ) p(t) p(t) 为周期矩形函数时
该取样为均匀抽样，周期为 T s T_s Ts，则取样角频率为： w s = 2 π f s ( t ) = 2 π T s w_s=2\pi f_s(t)=\frac{2\pi}{T_s} ws=2πfs(t)=Ts2π
p ( t ) ↔ P ( j w ) = 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ F n δ ( w − n w s ) p(t)\leftrightarrow P(jw)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\delta(w-nw_s) p(t)↔P(jw)=2πn=−∞∑+∞Fnδ(w−nws)
其中：
F n = 1 T s ∫ − T s 2 T s 2 p ( t ) e − j n w s t d t = τ S a ( n w s τ 2 ) T s F_n=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}p(t)e^{-jnw_st}dt=\frac{\tau Sa(\frac{nw_s\tau}{2})}{T_s} Fn=Ts1∫−2Ts2Tsp(t)e−jnwstdt=TsτSa(2nwsτ)
f s ( t ) = f ( t ) ⋅ p ( t ) ↔ F s ( j w ) = F ( j w ) ∗ P ( j w ) 2 π f_s(t)=f(t)\cdot p(t)\leftrightarrow F_s(jw)=\frac{F(jw)*P(jw)}{2\pi} fs(t)=f(t)⋅p(t)↔Fs(jw)=2πF(jw)∗P(jw)
F s ( j w ) = 1 2 π F ( j w ) ∗ 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ F n δ ( w − n w s ) = F ( j w ) ∗ ∑ n = − ∞ + ∞ τ S a ( n w s τ 2 ) T s δ ( w − n w s ) F_s(jw)=\frac{1}{2\pi}F(jw)*2\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\delta(w-nw_s)=F(jw)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\tau Sa(\frac{nw_s\tau}{2})}{T_s}\delta(w-nw_s) Fs(jw)=2π1F(jw)∗2πn=−∞∑+∞Fnδ(w−nws)=F(jw)∗n=−∞∑+∞TsτSa(2nwsτ)δ(w−nws)
根据上一篇推导的结论 f ( t ) ∗ δ ( t ) = f ( t ) f(t)*\delta(t)=f(t) f(t)∗δ(t)=f(t) 得 F ( j w ) ∗ δ ( w − n w s ) = F [ j ( w − n w s ) ] F(jw)*\delta(w-nw_s)=F[j(w-nw_s)] F(jw)∗δ(w−nws)=F[j(w−nws)]：
F s ( j w ) = τ T s ∑ n = − ∞ + ∞ S a ( n w s τ 2 ) ⋅ F [ j ( w − n w s ) ] F_s(jw)=\frac{\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{nw_s\tau}{2})\cdot F[j(w-nw_s)] Fs(jw)=Tsτn=−∞∑+∞Sa(2nwsτ)⋅F[j(w−nws)]
处理过后统一为：
F s ( j w ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F n ⋅ F [ j ( w − n w s ) ] F_s(jw)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\cdot F[j(w-nw_s)] Fs(jw)=n=−∞∑+∞Fn⋅F[j(w−nws)]
- 结论：
①【 时域的抽样就是频域的周期延拓 】信号在时域被抽样后，它的频谱函数 F s ( j w ) F_s(jw) Fs(jw) 是连续信号的频谱 F ( j w ) F(jw) F(jw) 以取样角频率 w s w_s ws 为间隔，周期地重复而得到的
②在重复过程后得到的各离散幅度被取样脉冲 p ( t ) p(t) p(t) 的傅立叶系数 F n F_n Fn 所加权
2 奈奎斯特取样频率
不能让第 k k k 与第 k + 1 k+1 k+1 个有重叠，所以 ( w s − w m ) ≥ w m (w_s-w_m)\geq w_m (ws−wm)≥wm，则 w s ≥ 2 w m w_s\geq 2w_m ws≥2wm ， T s ≤ 1 2 f m T_s\leq \frac{1}{2f_m} Ts≤2fm1
【取样率不得小于信号频谱最高频率的两倍】
- 时域取样定理
如果 f ( t ) f(t) f(t) 是带宽有限的连续信号，其频谱 F ( j w ) F(jw) F(jw) 的最高频率为 f m f_m fm ，则以取样间隔 T s ≤ 1 2 f m T_s\leq \frac{1}{2f_m} Ts≤2fm1 对信号 f ( t ) f(t) f(t) 进行等间隔取样，所得的取样信号 f s ( t ) f_s(t) fs(t) 将包含原信号 f ( t ) f(t) f(t) 的全部信息，因而可以从 f s ( t ) f_s(t) fs(t) 完全恢复出原信号 f ( t ) f(t) f(t)
- 当 T s = 1 2 f m T_s=\frac{1}{2f_m} Ts=2fm1 为奈奎斯特取样间隔， f s = 2 f m f_s=2f_m fs=2fm 为奈奎斯特取样频率， w s = 2 w m w_s=2w_m ws=2wm 为奈奎斯特取样角频率
3 p ( t ) p(t) p(t) 为 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t) 时的取样
δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ n = + ∞ δ ( t − n T s ) \delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}\delta(t-nT_s) δT(t)=∑n=−∞n=+∞δ(t−nTs) 其实就是 τ → 0 \tau\to{0} τ→0 的周期矩阵信号
δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t) 的傅里叶系数 F n = 1 T s F_n=\frac{1}{T_s} Fn=Ts1，则 δ T ( t ) ↔ 2 π T s ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( w − n w 0 ) \delta_T(t)\leftrightarrow{\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)} δT(t)↔Ts2π∑n=−∞+∞δ(w−nw0)
f s ( t ) = f ( t ) ⋅ δ T ( t ) = f ( t ) ⋅ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ n = + ∞ f ( n T s ) δ ( t − n T s ) f_s(t)=f(t)\cdot\delta_T(t)=f(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}f(nT_s)\delta(t-nT_s) fs(t)=f(t)⋅δT(t)=f(t)⋅n=−∞∑+∞δ(t−nTs)=n=−∞∑n=+∞f(nTs)δ(t−nTs)
F s ( j w ) = 1 2 π F ( j w ) ∗ 2 π T s ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( w − n w 0 ) = 1 T s ∑ n = − ∞ + ∞ F [ j ( w − n w 0 ) ] F_s(jw)=\frac{1}{2\pi}F(jw)*{\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(w-nw_0)}=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F[j(w-nw_0)] Fs(jw)=2π1F(jw)∗Ts2πn=−∞∑+∞δ(w−nw0)=Ts1n=−∞∑+∞F[j(w−nw0)]
与使用周期矩阵信号取样得到的 F s ( j w ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F n ⋅ F [ j ( w − n w s ) ] F_s(jw)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\cdot F[j(w-nw_s)] Fs(jw)=∑n=−∞+∞Fn⋅F[j(w−nws)] 相比：
等效于 F n = 1 T s F_n=\frac{1}{T_s} Fn=Ts1 ，即没有系数对频谱的离散幅度进行加权
