题目

标题和出处

标题：收集树上所有苹果的最少时间

出处：1443. 收集树上所有苹果的最少时间

难度

6 级

题目描述

要求

给定一个有 $\text{n}$ 个结点的无向树，结点编号为 $\text{0}$ 到 $\text{n}-\text{1}$，有一些结点有苹果。通过树上的一条边需要花费 $\text{1}$ 秒钟。计算从结点 $\text{0}$ 出发收集所有苹果并回到结点 $\text{0}$ 的最少时间的秒数并返回。

无向树的边由 $\text{edges}$ 给出，其中 ${\text{edges[i] = [a}}_{\text{i}}{\text{, b}}_{\text{i}}\text{]}$，表示有一条边连接 ${\text{a}}_{\text{i}}$ 和 ${\text{b}}_{\text{i}}$。除此以外，还有一个布尔数组 $\text{hasApple}$，其中 $\text{hasApple[i] = true}$ 表示结点 $\text{i}$ 有一个苹果，否则结点 $\text{i}$ 没有苹果。

示例

示例 1：

输入：$\text{n = 7, edges = [[0,1],[0,2],[1,4],[1,5],[2,3],[2,6]], hasApple = [false,false,true,false,true,true,false]}$
输出：$\text{8}$
解释：上图展示了给定的树，其中红色结点表示有苹果。一个能收集到所有苹果的最优方案由绿色箭头表示。

示例 2：

输入：$\text{n = 7, edges = [[0,1],[0,2],[1,4],[1,5],[2,3],[2,6]], hasApple = [false,false,true,false,false,true,false]}$
输出：$\text{6}$
解释：上图展示了给定的树，其中红色结点表示有苹果。一个能收集到所有苹果的最优方案由绿色箭头表示。

示例 3：

输入：$\text{n = 7, edges = [[0,1],[0,2],[1,4],[1,5],[2,3],[2,6]], hasApple = [false,false,false,false,false,false,false]}$
输出：$\text{0}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{n}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• $\text{edges.length}=\text{n}-\text{1}$
• $\text{edges[i].length}=\text{2}$
• $\text{0}\le {\text{from}}_{\text{i}}{\text{, to}}_{\text{i}}\le \text{n}-\text{1}$
• ${\text{from}}_{\text{i}}<{\text{to}}_{\text{i}}$
• $\text{hasApple.length}=\text{n}$

解法

思路和算法

这道题中的树使用无向边表示，规定根结点是结点 $0$，其余结点之间只能知道连通关系。为了得到相邻结点之间的父结点和子结点的关系，需要根据给定的边得到每个结点的相邻结点，然后从根结点开始遍历树。在确定所有相邻结点之间的父结点和子结点的关系之后，即可得到树的结构，包括每个结点的父结点和子结点，然后计算收集树上所有苹果的最少时间。

可以使用深度优先搜索得到树的结构。从根结点开始遍历，遍历过程中需要知道相邻结点之间的父结点和子结点的关系。由于和一个结点相邻的结点只有该结点的父结点和全部子结点，一种方法是在遍历过程中传入当前结点的父结点编号，在遍历与当前结点相邻的结点时跳过父结点，则可确保只会访问当前结点的子结点。

为了将收集苹果的时间降到最低，对于树中的每个苹果，应该考虑最短路径，即从根结点直接到达苹果所在结点的路径。当树中有多个苹果时，收集苹果的过程中应该避免重复路径，即同一条边最多在两个方向上各走一次。例如，示例 1 中收集树上所有苹果需要经过的边包括 $[0,1]$、$[1,4]$、$[1,5]$、$[0,2]$，共有 $4$ 条边，最少时间的方案下每条边走 $2$ 次，因此最少时间是 $8$。

基于上述分析，为了计算最少时间，需要计算收集树上所有苹果需要经过的最少边数，将边数乘以 $2$ 即为最少时间。

计算过程中，为了避免重复计算，需要记录每个结点是否访问过，初始时只有根结点 $0$ 被访问过。对于每个有苹果的结点，从该结点出发向根结点移动，将经过的每个结点（包括该结点本身）的状态都设为被访问过，当遇到一个已经访问过的结点时结束当前结点的移动。如果遇到一个已经访问过的结点 $x$，则从结点 $x$ 到根结点的路径上的所有边都已经访问过，因此不应重复访问。

对于全部有苹果的结点计算结束之后，即可得到收集树上所有苹果需要经过的最少边数。

实现方面，可以在计算边数的同时计算最少时间，对于遍历到的每条边，将时间加 $2$。

代码

class Solution {List<Integer>[] adjacentNodes;int[] parents;boolean[] visited;public int minTime(int n, int[][] edges, List<Boolean> hasApple) {adjacentNodes = new List[n];for (int i = 0; i < n; i++) {adjacentNodes[i] = new ArrayList<Integer>();}for (int[] edge : edges) {int node0 = edge[0], node1 = edge[1];adjacentNodes[node0].add(node1);adjacentNodes[node1].add(node0);}parents = new int[n];Arrays.fill(parents, -1);dfs(0, -1);visited = new boolean[n];visited[0] = true;int time = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (hasApple.get(i)) {time += getTime(i);}}return time;}public void dfs(int node, int parent) {List<Integer> adjacent = adjacentNodes[node];for (int next : adjacent) {if (next == parent) {continue;}parents[next] = node;dfs(next, node);}}public int getTime(int node) {int time = 0;while (!visited[node]) {visited[node] = true;node = parents[node];time += 2;}return time;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是树的结点数。深度优先搜索的过程中每个结点访问一次，计算最少时间的过程中每条边最多遍历一次，共有 $n$ 个结点和 $n-1$ 条边，因此时间复杂度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是树的结点数。空间复杂度包括存储相邻结点信息的空间、记录每个结点的父结点信息的空间和递归调用的栈空间，存储相邻结点信息的空间和记录每个结点的父结点信息的空间是 $O(n)$，递归调用的栈空间在最坏情况下是 $O(n)$，因此空间复杂度是 $O(n)$。