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前言

本章内容参考海贼宝藏胡船长的数据结构与算法中的第七章——查找算法，侵权删。

查找的时间复杂度能从原来链表的$O(n)$降到$O(logn)$，典型的用空间复杂度换时间复杂度的例子。

直观上感受就是把原来的链表给拉升了，处于同一高度的节点被串联成了一个单独的链表，每个链表都有一个层高：
第0层：1，6，15，30
第1层：1，6，15，30
第2层：1，15，30
第3层：1，15
第4层：15

跳跃表的特点：

1. 有层高，每一层又是单独的链表
2. 有两个特殊的节点，头节点代表极小值，尾节点代表极大值。也就是说不管插入什么样的值都是在头尾节点之中
3. 跳跃表本身会维护这些元素的有序性（跳跃表中的元素是有大小顺序的）

跳跃表具体的操作：

1. 插入
2. 删除
3. 查找

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一、跳跃表——查找操作

1. 首先从最左上方的节点开始找，以当前节点值的下一个节点值作为基准值
   • 如果下一个当前节点值比待查找值要小，当前层高（本层）节点的下一个节点与待查找值作比较。
   • 如果下一个当前节点值比待查找值要大，该节点的位置（而不是下一层的第一个节点）向下走。
   • 如果下一个当前节点值等于待查找值，那就找到了！
2. 重复步骤1。

如图展示：

举个例子：

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二、跳跃表——插入操作

结合普通链表的插入操作：我们应该先查找待插入节点的前一个节点
如何找到呢？

1. 首先插入节点要有一个高度（高度随机），找到初始节点中与待插入节点等高的节点作为头节点
   

2. 规则和查找操作类似：从上往下找，以当前节点值的下一个节点值作为基准值。

   • 如果下一个节点值比待查找值要小，前往本层中的下一个节点
   • 如果下一个节点值比待查找值要大，前往当前节点的下一层

3. 重复操作2，到达0层。至此，找到了每一层需要连接插入节点的对应节点
   

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三、代码演示

1. 初始化了一个具有n层结构的跳跃表中的节点
2. 需要一个表示整个跳跃表的结构，因为在跳跃表中有几个比较特殊的信息，这几个特殊的信息，必须是由跳跃表去维护的：
   • 头尾指针
   • 当前跳跃表最高的层数

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include <inttypes.h>
#include<time.h>typedef struct Node
{int key, level;struct Node *next, *down, *up;
} Node;typedef struct Skiplist
{Node *head, *tail;int max_level;
} Skiplist;//初始化了一个具有n层结构的跳跃表中的节点
Node *getNewNode(int key, int n){Node *nodes = (Node*)malloc(sizeof(Node) * n);for (int i = 0; i < n; i++){nodes[i].key = key;nodes[i].level = i;nodes[i].next = NULL;nodes[i].down = (i ? nodes + (i - 1) : NULL);nodes[i].up = (i + 1 < n ? nodes + (i + 1) : NULL);}return nodes + n - 1;
}//初始化跳跃表
Skiplist *getNewSkiplist(int n){Skiplist *s = (Skiplist *)malloc(sizeof(Skiplist));s->head = getNewNode(INT32_MIN, n);s->tail = getNewNode(INT32_MAX, n);s->max_level = n;Node *p = s->head, *q = s->tail;while (p){p->next = q;p = p->down, q = q->down;}//刚开始创建跳表时，跳跃表是空，应该让跳表的头指针应该指向第0层的头节点，随着插入新节点，这个层高才逐渐增高while (s->head->level != 0) s->head = s->head->down;return s;
}//返回的是找到值所在节点的最上层的节点
Node *find(Skiplist *s, int x){Node *p = s->head;while (p && p->key !=x){if (p->next->key <= x) p = p->next;else p = p->down;}return p;
}double randDouble(){#define MAX_RAND_N 1000000return (rand() % MAX_RAND_N) * 1.0 / MAX_RAND_N;#undef MAX_RAND_N
}//生成层数
int randLevel(Skiplist *s){int level = 1;double p = 1.0 / 2.0;while (randDouble() < p) level += 1; //层数越高，生成该层数的概率越小，生成n层的概率是p^n
#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a))return min(s->max_level, level);
#undef min
}void insert(Skiplist *s, int x){int level = randLevel(s);printf("rand level = %d\n", level);while (s->head->level + 1 < level) s->head = s->head->up; //这里保证头指针的层数一定不小于生成的node节点的层数Node *node = getNewNode(x, level);Node *p = s->head;printf("insert begin\n");fflush(stdout);while (p->level != node->level) p = p->down;// 头节点和node节点等高，二者对齐while (p) {while (p->next->key < node->key) p = p->next;node->next = p->next;p->next = node; //这里已经完成了本层的节点插入//接着向下继续插入p = p->down;node = node->down; //Node节点也得往下走}return;
}void clearNode(Node *p){if(p == NULL) return;free(p);return;
}void clearSkiplist(Skiplist *s){Node *p = s->head, *q;while(p->level != 0) p = p->down;  // 从最下层开始遍历清除while(p){q = p->next;clearNode(p);p = q;}free(s);return;
}void output(Skiplist *s){Node *p = s->head;int len = 0;for (int i = 0; i <= s->head->level; i++){len += printf("%4d", i);}printf("\n"); //输出层号for (int i = 0; i < len; i++) printf("-");printf("\n");while (p->level > 0) p = p->down; //先到第0层，也就是最底层while (p){bool flag = (p->key != INT32_MIN && p->key != INT32_MAX); //头和尾没有必要输出for (Node *q = p; flag && q; q = q->up){printf("%4d", q->key);}if (flag) printf("\n");p = p->next;}return;
}int main(){srand(time(0));int x;
#define MAX_LEVEL 32Skiplist *s = getNewSkiplist(MAX_LEVEL);
#undef MAX_LEVEL// insertwhile (~scanf("%d", &x)){if (x == -1) break;insert(s, x);output(s);}output(s);// findwhile (~scanf("%d", &x)){Node *p = find(s,x);printf("find result: ");if(p){printf("key = %d, level = %d\n", p->key, p->level);}else{printf("NULL\n");}}clearSkiplist(s);return 0;
}

3.1 输出结果

• 插入
  

• 查找
  

3.2 代码细节

1. 释放内存的部分，其实clearNode()传入只能是多层节点的最底层（当然这里有风险，如果传入的不是最底层，那么free就会出错），看这个例子

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>int *getNewArray(int n){int *p = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++){p[i] = i;}return p + n - 1;
}void clearArray(int *p){if(!p) return;free(p);return;
}int main(){int num = 12;int *a1 = getNewArray(num);printf("%p\n", a1);printf("%d\n", *a1);  // 11printf("%d\n", *(a1 - num + 1)); // 0// free a1clearArray(a1);printf("%d\n", *a1);  // error// free(): invalid pointer//Aborted (core dumped)printf("%d\n", *(a1 - num + 1)); // 0// free a1 - num + 1clearArray(a1-num+1);printf("%d\n", *a1);  // ?printf("%d\n", *(a1 - num + 1)); // 0return 0;
}

原因是：由于 getNewArray 返回了指向数组最后一个元素的指针，当你尝试在 clearArray 中释放这个指针时，会遇到 free(): invalid pointer 错误。因为 free 函数需要传入的指针必须是由 malloc, calloc 或 realloc 分配的原始指针。这里传入的是数组末尾的指针，而不是原始指针。

2. 初始化跳跃表的时候：创建一个空的跳跃表（此时只有头尾两个具有max_level层的节点），此时的s->head最好应该指向最底层，随着插入逐渐s->head升高。（不是必须，但这样方便维护）

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四、总结：

1. 有的版本跳跃表把Node中的*next, *up, *down换成*next[]

   /*柔性数组,根据该节点层数的不同指向大小不同的数组*next[0]表示该节点的第一层下一节点的索引地址*next[1]表示该节点的第二层下一节点的索引地址*next[n]表示该节点的第n层下一节点的索引地址
   */
   

   这样做就没有up,down指针，这样处理也是一种可以借鉴的思路

2. 关注Node *getNewNode()函数，这个函数是申请（malloc）n层节点中底层的内存空间，而返回的则是顶层的内存地址，这个应当非常注意。

3. 封装结构：一个Node是一个封装，getNewNode函数创建的是一个n层的具有高度的数组（其元素是Node类型），而跳表封装了这样的数组。如果把Node换成总结中的第一点*next[]，这个其实就是这样的一个具有n层的数组，不再把它抽象成单独的一个Node。这两种不同的定义，就看你怎么抽象了，到底哪个是最小的封装单元。
   Node ——> 单个Node组成的高度（长度）为n的数组 ——> 跳表

   struct skip_list_node
   {/*key是唯一的*/int key;       /*存储的内容*/int value;     /*当前节点最大层数*/int max_level; /*柔性数组,根据该节点层数的不同指向大小不同的数组*next[0]表示该节点的第一层下一节点的索引地址*next[1]表示该节点的第二层下一节点的索引地址*next[n]表示该节点的第n层下一节点的索引地址*/struct skip_list_node *next[];
   };                 
   代码原文链接：https://blog.csdn.net/m0_37845735/article/details/103691814
   

4. 插入和查找的过程图像要非常清晰，边写代码脑海里要有一个动态的图像。多练，无他唯手熟尔！

参考文献：

1. 跳表C语言实现详解
2. 海贼宝藏——数据结构与算法