一、数学

(一) 高数

0.初等数学补充

1.初等数学公式：
(1)立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$   【例如：$1+x^6=1+(x^2{)}^3=(1+x^2)(x^4-x^2+1)$】
(2)立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$   【例如：$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$】
(3)球体体积：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$
球体的表面积：$S_{球表面积}=4\pi R^2$
(4)诱导公式：$(\sin \theta +\cos \theta )\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$

2.高等数学拓展公式：
① $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$

3.极坐标：
极点：原点
极轴：x轴

4.拓展
(1)$\arcsin x$
①$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$
②$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ 【$\sin x=\frac{1}{2}$，则$x=\frac{\pi }{6}$】

(2)公式：$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

1.函数、极限、连续

1.求极限：
①非零因子可以先算出来，其他不行：
Ⅰ.同一极限号下，不能求二次极限，尤其是幂指函数。要用$x=e^{\ln x}$ 【660 T133】 (但其他均为常数，则可直接求出来，如880 第一章综合填空4)
Ⅱ.等价无穷小只能 分子、分母 整除，内函数不可以等价代换。(如幂函数、幂指函数的指数、底数)

2.可去间断点：左右极限存在且相等

3.等价无穷小：
$1-{\cos }^{\alpha }x\sim \alpha (1-\cos x)\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$

4.判断是夹逼原理还是定积分定义：看变化部分的最大值与主体部分相比较：
①是次量级：夹逼
②是同量级：定积分定义 【高数辅导讲义 P30】

5.幂指函数求极限：
①$x=e^{\ln x}$
②$[1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}-1\sim \alpha (x)\cdot \beta (x)$   【当 $\alpha (x)\to 0，\alpha (x)\cdot \beta (x)\to 0$时】

6.函数四性态：
③周期性：$f(x)$是以T为周期的可导周期函数 ⇨ $f^{\prime }(x)$也是以T为周期的周期函数 【可导的周期函数的导函数，仍为周期函数 】
④有界性：$f^{\prime }(x)$在有限区间I上有界 $\Rightarrow$ $f(x)$在有限区间I上有界

7.开根要带绝对值：$\sqrt{a^2}=|a|$

8.求数列极限有下界：数学归纳法 【18年19.】
$x_1>0$，设$x_n>0$，则 $x_{n+1}=...>0$
由数学归纳法可知，对所有正整数n，有$x_n>0$成立
∴数列{$x_n$}有下界0

2.导数

1.含绝对值的函数可以求导：分正负(x>0,x<0)，分别求导，导函数是分段函数 【660 T152】
结论：$|x|x^n$ 在x=0处n阶可导

2.增减区间的书写规范：
①多个增(减)区间 用 ， 或 和 连接
②同一用开区间 ()，避免端点没有定义或者端点不单调

3.导数公式：
①$(\tan x{)}^{\prime }=\sec x^2$
②$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

4.导数定义：
(1)导函数的定义
① $y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

② $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 【15年18.】

3.中值定理

1.微分中值定理证明题：
(1)第一问的结论，往往作为求证第二问的条件
中值定理：【13年18、16年19】

(2)方程的根、证明不等式、微分中值定理：
基本思想：①移到一边 ②设辅助函数，看奇偶性 ③求导

2.证明拉格朗日中值定理：【09年18.】
构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，用罗尔定理F(a)=F(b)=0

3.方程的根的存在性及个数：【11年17、17年18】

4.介值定理：
f(x)在[a,b]上连续，C介于f(a)和f(b)之间。则 $\exists \xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=C$。

5.放缩：
①绝对值：$|a\pm b|\le |a|+|b|$
②最大值函数max： a + b ≤ 2 max ⁡ { a , b } a+b≤2\max\{a,b\} a+b≤2max{a,b}

6.泰勒公式
(1)泰勒公式：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$

(2)麦克劳林公式：令$x_0=0$
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

(3)泰勒公式展开
展开到几次：
Ⅰ.加减关系：同次幂系数相加减不为0
Ⅱ.乘除关系：上下同此幂
Ⅲ.泰勒展开，展少了，会导致系数不对。尤其是展开项要乘多项式的时候，容易漏。
展多了，计算了一些没用的数值，浪费考试时间。

例如：16年12. 求$f^{\prime \prime \prime }(0)$，就展开到3阶，$\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}=a_3$

7.极值点与拐点：
①可导函数，某点若是极值点则一定不是拐点，若为拐点则一定不为极值点。
②$f(x)$在某点不可导 (如分段函数的分界点)，则可能同时为极值点和拐点。

变上限积分的链式求导错误，导致f’(x)求错，无法消去多余项，导致驻点求不出。【10年16】

8.渐近线：
偶函数的渐近线：偶函数关于x=0对称，只求x→+∞方向，然后左右对称。
①水平渐近线：右边有，左边就是共享同一条 【0或1条】
②垂直渐近线：若有，1条x=0 或 偶数条垂直渐近线(左右对称) 【0,1,2,4,…】
③斜渐近线：
Ⅰ.若偶函数有水平渐近线，则两方向均无斜渐近线【0条)】
Ⅱ.若偶函数无水平渐近线，则有 0或2条 斜渐近线。若偶函数在x→+∞时有斜渐近线 $y=ax+b$，则x→-∞有斜渐近线 $y=-ax+b$

9.不等式问题：
(1)函数不等式：
①先看奇偶性，用f(-x)去试。若为偶函数，则只需要证明右半边。尤其是x属于对称区间。【12年15.】
②移到一边构造辅助函数，求导看单调性。
③若f’(x)不好看出正负：Ⅰ.放缩：根据x的取值范围，进行适当的放缩，使得导数>0或<0 。Ⅱ.求二阶导

10.证明常用：
(1) $\cos x$ 在$(0,\frac{\pi }{2})$上单调减少
【2014年19：当 $0<a_n<\frac{\pi }{2}，0<b_n<\frac{\pi }{2}$时，若有$\cos b_n<\cos a_n$，∵$\cos x$ 在$(0,\frac{\pi }{2})$上单调减少 ∴ $0<a_n<b_n<\frac{\pi }{2}$】

(2)基本不等式
①$\sin x<x<\tan x，x\in (0,\frac{\pi }{2})$

②$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x，x\in (0,+\infty )$   ⇨   $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

③$a^2+b^2\ge 2ab$

④$|x\pm y|\le |x|+|y|$   （和差的绝对值 不超过 绝对值的和）

4.积分

1.不定积分公式：$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

2.变上限积分的可导性：
$f(x)$在$[a,b]$上除$x=x_0\in (a,b)$外均连续，则在点$x=x_0$处，则

f(x)在$x=x_0$处	${\int }_a^{x}f(t)dt$
①连续	可导
②可去间断点	可导
③跳跃间断点	连续但不可导

3.反常积分判敛散性：
先看是两种反常积分的哪一种，若两种都包含，则拆分区间拆成两种 【16年1.】

(1)定义：凑微分求出原函数，代入端点值看是否收敛
(2)比较判别法：
(3)P积分：

4.三角代换
$\sqrt{a^2+x^2}$   令 $x=a\tan t$

5.微分方程

6.空间解析几何

1.两面垂直 $\iff$ $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ $\iff$ $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$
xOy面：即z=0。法向量为 (0,0,1)

2.曲面与空间曲线：
(1)旋转曲面 【13年19.】
(2)投影曲线 【17年19.(1)】

7.多元微分

1.多元函数
$z=f(u)=f(e^x\cos y)$是一元函数，$f^{\prime }=f^{\prime }，f^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$

2.梯度：
梯度的模：$|\overrightarrow{gradf|}=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}=\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}$   【15年17.】

8.重积分

1.求质心、形心，注意对称性：关于x轴对称则$\bar{y}=0$；关于y轴对称则$\bar{x}=0$ 【13年19.】

9.曲线曲面积分

1.曲面的侧判断曲面是否封闭：
(1)内侧、外侧：已封闭，直接用高斯公式   【21年14.】
(2)上侧、下侧、左侧、右侧、前侧、后侧：未封闭，补面用高斯公式

10.无穷级数

1.泰勒级数
$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}(-1\le x\le 1)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...$

2.求幂级数的和函数：
(1)提出x作分母：对x≠0，x=0分类讨论。   【2012年17】
(2)要用逐项求导，先求收敛区间。   【2013年16(1)】

3.逐项求导，只在开区间(-R,R)上成立。端点值要单独讨论。   【2021年18(2)】

11.其他杂记

1.高数常用技巧：减项、加项

2.简化计算：
(1)等价变形：
①$\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln (1-x)$
②$\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$   【提出e^x】

(2)图形面积
①${\int }_0^{\pi }\sin x=2$，${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x=\frac{\pi }{2}$

②${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}=1$

3.多元积分：【第二类线面是重点】
(1)三大公式【均是求二类】
格林公式：封闭的二维二类线积分→二重积分
斯托克斯公式：封闭的三维二类线积分→曲面积分 (平面则用一类面，曲面用二类面)
高斯公式：二类面积分→三重积分

(2)奇偶性：
圆(球)、椭圆(椭球)，关于x轴、y轴 (xoy、yoz、zox面)均对称，遇到x、y、z的奇函数，其二重积分、三重积分、一类线、一类面积分为0

(3)形心公式
求二重积分、三重积分、一类线ds、一类面dS对x,y,z的积分时，可以考虑形心公式。
如：$\oint xds=\bar{x}\cdot l$

4.①牛顿-莱布尼茨公式：$f(x_2)-f(x_1)={\int }_{L}df={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{df}{dt}dt$   【联系了积分和微分】
②Green公式：${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$   【联系了封闭的第二类曲线积分和二重积分】

③斯托克斯公式是格林公式的推广：若把斯托克斯公式的第三列的第二行、第三行都取0，然后按第三列展开，发现就是格林公式。

④Gauss公式：$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$   【联系了封闭的第二类曲面积分和三重积分】

5.高斯公式 + 有奇点，要挖洞：
$I=\underset{\Sigma }{\iint }=\underset{\Sigma +{\Sigma }_1}{\iint }-\underset{{\Sigma }_1}{\iint }$

6.武老师押题：
①数列极限，22 23考的泰勒
②不考傅里叶级数，23考过。傅里叶级数只会出选填。
③二类线积分 (我猜大概率是格林 + 挖洞 )，22考的二型线 斯托克斯，23考的二类面 高斯

7.第二型曲面积分的含义是：对三维空间中的曲面，在二维平面上的投影做二重积分

8.空间曲面的面积×$\cos \gamma$=投影到xoy平面的面积

空间曲面的面积 $=\underset{\Sigma }{\iint }1dS$
投影到xoy平面的面积 $=\underset{D}{\iint }1d\sigma$
$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$

9.第二类曲面积分，对dxdy就是投影到xoy面。若f(x)投影到xoy面是一条直线或曲线，不是投影成带阴影的面积，则积分为0。【二类面，直接法，投影成线，积分为0】

10.画空间平面的方法(求曲线曲面积分时)：如x+y+z=0、x+y+z=1、z=x+y (x+y-z=0)
①令z=0，得xoy面上的直线
②根据平面方程易得平面法向量。根据法向量的方向将平面直线延伸为空间平面。

11.选择题：
①直接法
②排除法：具体函数法、特殊值法

排除法尽量用在：①直接法不方便求解、计算繁琐 ②验证答案 时使用
举例：讲义P156例2

12.高数真题：
(1)多元微分怎么考？
选择考概念，大题考多元极值、最值

(2)无穷级数怎么考？
选择考常数项级数的敛散性判断，大题考求和函数

(3)数一的高数4道大题都考哪些考点？
①求函数极限、导数和微分方程的几何应用：求单调区间和极值、多元微分求极值
②无穷级数：求和函数
③数列极限：递推、夹逼/单调有界求极限
④曲线曲面积分、旋转曲面、多元微分集合应用
⑤微分中值定理

(二) 线代

0.串联各章的等价条件

1. ①A可逆
⇦⇨②|A|≠0
⇦⇨③r(A)=n，A满秩
⇦⇨④Ax=0仅有零解
⇦⇨⑤A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨⑥A的特征值均不为0 【17年5.】

2. ①A不可逆
⇦⇨②|A|=0
⇦⇨③r(A)<n，A不满秩
⇦⇨④Ax=0有非零解
⇦⇨⑤A的列向量 α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨⑥A有零特征值

1.行列式、矩阵的秩、矩阵的初等变换

1.$r(A)=k$：
最高阶非零子式的阶数为k；至少存在一个k阶子式不为0，所有高于k阶的子式全为0

2.$r(A)=1$，则：
①特征值为 tr(A) 及 n-1个0
②tr(A)≠0，则A可相似对角化；tr(A)=0，则A不可相似对角化。

3.秩的性质：
(1)$\mathrm{r}(\mathrm{A})$$=\mathrm{r}({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=$$\mathrm{r}({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A})$   【2012年21(1)】
(2)$\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\le \mathrm{r}(\mathrm{A})+\mathrm{r}(\mathrm{B})$   【2013年21(2)】

4.初等矩阵：
①互换初等矩阵$E_{ij}$的逆和转置为本身：${E_{ij}}^{-1}=E_{ij}={E_{ij}}^T$
②倍加初等矩阵$E_{ij}(k)$：$[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$
【$E_{ij}(k)$：第i列的k倍加到第j列，或 第j行的k倍加到第i行】

5.矩阵的初等变换：
(1)左乘行变换，右乘列变换
(2)矩阵A可经初等列变换化为矩阵B ⇦⇨ 矩阵方程AX=B有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,B) 【18年21.】

2.向量

1.向量个数与维数的关系：
①方程个数<未知数个数，即个数>维数，则线性相关。
②n维向量空间，若要向量组线性无关，最多只能有n个向量。即：若线性无关，则个数≤维数 (逆否命题)

2.向量空间：向量 = 基 ·坐标
$\beta =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3$

3.向量空间：过渡矩阵：原基 右乘过渡矩阵，到新基
$AP=B$，则 $P=A^{-1}B$

小技巧： $(A|B)\to (E|A^{-1}B)$

4.n维非零列向量的性质：
对任意非零列向量 α,β，有以下性质：
① $\mathrm{r}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})=1$   【2013年21(2)】
② $\mathrm{tr}(\beta {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$，$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ，\mathrm{tr}(\beta {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\beta$

3.方程组、矩阵方程AX=B

1.Ax=0有非零解：
⇦⇨ |A|=0   【15年20.(2)】
⇦⇨ A的列向量 α₁,α₂,…,α_n 线性相关
⇦⇨ r(A)<n
⇦⇨ A不可逆

(1)证明${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$线性无关：【09年20.(Ⅱ)】
①定义法
②|A|≠0

(2)$A_{11}\ne 0$ (除去第一行第一列的剩下n-1阶矩阵不全为0)，则：
① $r(A)\ge n-1$
②${\alpha }_2,{\alpha }_3,...,{\alpha }_n$线性无关

2.非齐次线性方程组的几何意义

3.同解方程组的充要条件：行向量组等价

4.方程组Ax=0与Bx=0的公共解：
①A、B都为具体的方程组： 公共解为 联立方程组 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)x=0$的解
②A为具体方程组，B为基础解系：将B的通解代入A
③A、B均为基础解系：r=通解1=通解2=通解1-通解2

5.Ax=0：相关性
Ax=β：表示性

6.非齐次A_m×nx=β有两个不同的解 ：     【880 方程组综合选择3、数一2010年20.】
⇨ 齐次Ax=0有非零解 ⇦⇨ r(A)<n，A的列向量组线性相关
⇦⇨r(A)=r(A|b)<n，A_m×nx=β有无穷多解

7.与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组，也是Ax=0的基础解系   [880 方程组 综合解答3]

8.写行列式、矩阵，注意不要漏抄负号、平方号！

9.求非齐次特解：令自由变量均为0
求齐次通解：令自由变量为 (1,0) (0,1)

4.特征值、特征向量

1.相似：$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$
相似对角化：$P^{-1}AP=\Lambda$，则$A\sim \Lambda$

2.相似与合同
相似⇨特征值相同、秩相同：r(A)=r(B)、r(λE-A)=r(λE-B)
合同⇨正负惯性指数相同

3.求特征值λ对应的特征向量：
①求出$(\lambda E-A)x=0$的基础解系 ${\xi }_1，{\xi }_2，...，{\xi }_n$
②矩阵A的属于特征值λ的全部特征向量为：齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的通解去掉零解，即$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_n{\xi }_n$ (k₁,k₂,…,k_n不全为0)

即 全部特征向量，是方程组$(\lambda E-A)x=0$的非零通解

4.求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda$：
①求全部特征值 λ₁ λ₂ λ₃和对应的特征向量 α₁ α₂ α₃
②令$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则$P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

5.已知矩阵A、B。要求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$。
我们没有学过直接相似的定理。都需要经过对角矩阵来实现传递性，即$A\sim \Lambda ，B\sim \Lambda$ ⇨ $A\sim B$。即有$P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda ，P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda$，$\therefore P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$，$\therefore P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B$。即 存在$P=P_1{P}_2^{-1}$，使得$P^{-1}AP=B$ 【14年21.】

6.施密特正交化：
${\beta }_1={\alpha }_1$

${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$

${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$

7.定理：
设A是m×n矩阵，若 $r(A)=r<n$，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 存在基础解系，并且基础解系由 $n-r$ 个线性无关的解向量构成

s=n-r：齐次线性方程组Ax=0的基础解系中线性无关的解向量的个数 = 自由变量的个数

8.若λ=a是A的二重特征值：
则λ=a对应2个线性无关的特征向量，s=n-r(aE-A)=2
∴r(aE-A)=n-s=3-2=1

9.$\mathrm{s}=\mathrm{n}-\mathrm{r}(\lambda \mathrm{E}-\mathrm{A})$的含义：【14年21.】
方程组$(\lambda E-A)x=0$有s个线性无关的解

齐次线性方程组$(\lambda E-A)x=0$的基础解系有 s=n-r(λE-A)个解向量
∵基础解系的解向量线性无关
∴$(\lambda E-A)x=0$有 s=n-r(λE-A )个线性无关的特征向量

【n为矩阵的列数，即未知数的个数。 [若A的n×m矩阵，则s=m-r]】

9.$A^2=A$ ⇨ ${\lambda }^2=\lambda$

10.完全立方公式：
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

例：${\lambda }^3+3{\lambda }^2+3\lambda +1=(\lambda +1{)}^3$

11.特征值的性质：
(4)设$f(x)$为多项式，若${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$为A的特征值，则$f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),...,f({\lambda }_n)$为$f(A)$的特征值 【17年5.】

12.行和相等的矩阵的性质：(以三阶矩阵A为例，每行元素之和均为k)
行和k 是A的一个特征值，$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$是对应 行和k 的一个特征向量

5.二次型

1.二次型与二次曲面：
解|λE-A|=0，求A的特征值，判断曲面类型

3.三种变换：
①线性变换：旋转、拉伸
②正交变换：仅旋转，不做拉伸。正交变换不改变向量的长度，||x||=||y||，是一种等距变换。(P为正交矩阵，则$P^T=P^{-1}$)
③配方法：旋转、拉伸，研究正负惯性指数

4.①初等变换不改变矩阵的秩，可能改变特征值、迹、行列式的值。
②相似变换和正交变换，不改变矩阵的特征值。

5.正交变换：
(1)求正交变换 X=QY，或 求正交矩阵Q：
①|λE-A|=0，求所有特征值 λ₁ λ₂ λ₃
②求每个特征值对应的特征向量 是ξ₁ ξ₂ ξ₃
③将特征向量正交化、单位化，得 α₁ α₂ α₃。拼起来得正交矩阵Q=(α₁,α₂,α₃)
(2)$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$，Q的列向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$就是矩阵A的对应于特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$的特征向量

正交变换不改变原图形的面积

6.配方法
(1)先凑所有含$x_1$的，再凑所有含$x_2$的，最后剩下$x_3$。令$y_1,y_2,y_3$分别等于这些平方项目
(2)若没有平方项，则创造平方项：令$\{\begin{array}{rl}{x}_1& =y_1+y_2\\ x_2& =y_1-y_2\\ x_3& =y_3\end{array}$

7.若二次型$f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换X=PY下的标准型为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，即 $P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right)$

8.正定二次型：
(1)定义：
当且仅当 $x=0$ 时，才有$f=x^{T}Ax=0$。当 $x\ne 0$ 时都有$f=x^{T}Ax>0$，则$f$为正定二次型

(2)性质：
①各阶顺序主子式 ${\Delta }_i>0$
②特征值均为正 ${\lambda }_i>0$

9.二次型
$f\ge 0$，则$f$的负惯性指数为0
反证法：若f负惯性指数不为0，不妨设f=y₁²+y₂²-y₃²，取y₁=0,y₂=0,y₃=1，得f=-1<0。与f>=0矛盾.故f≥0时，f的负惯性指数为0

李烈老师线代押题：
①化二次型为二次型：正交变换法、配方法
②化二次型为标准型的应用：解方程组、证明瑞丽商、矩阵开方
③数二数三：相似对角化

(三) 概率

概率大题：①求概率密度 ②求数字特征 ③求矩估计、最大似然估计

1.一维连续型随机变量X的分布函数：
F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=P{X≤x}=∫−∞x​f(t)dt

P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) = ∫ a + ∞ f ( x ) d x P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a)=\int_a^{+∞}f(x)dx P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)=∫a+∞​f(x)dx

2.二维连续型随机变量的概率密度：$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

例如： F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{X+Y≤z\}=\iint\limits_{x+y≤z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=x+y≤z∬​f(x,y)dxdy

3.二维连续型随机变量的联合分布律、联合概率密度
①由f(x,y)求F(x,y)：$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(x,y)dxdy$

②由F(x,y)求f(x,y)：$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$   [F(x,y)可导或f(x,y)在(x,y)连续]

4.求Z的概率密度：【17年23.(1)】
步骤：
①先求分布函数： F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = . . . F_Z(z)=P\{Z≤z\}=... FZ​(z)=P{Z≤z}=...，代入Z的表达式，对自变量的取值范围进行分类讨论
②再求导：$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)$

5.正态分布的独立可加性 【12年23(1)】
若X与Y分别服从正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$与$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且X与Y相互独立。
则$Z=X-Y$也服从正态分布，$Z\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

6.边缘概率密度：
$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$ 【注意上下限是代y的取值，x是常数，所以最后得到的是关于x的函数】

$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$ 【例题：880多维随机变量 基础解答(5)Ⅰ】

7.条件概率密度
$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

8.判断两变量是否相互独立：积事件的概率 是否等于 事件概率的乘积
P { U ≤ a , X ≤ b } = P { U ≤ a } ⋅ P { X ≤ b } P\{U≤a,X≤b\}=P\{U≤a\}·P\{X≤b\} P{U≤a,X≤b}=P{U≤a}⋅P{X≤b}   【16年22(2)、880数字特征 基础解答(4)Ⅲ】

9.数字特征
(1)期望E(X)：
①离散型： E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k ⋅ P { X = x k } E(X)=\sum\limits_{k=1}^∞x_k·P\{X=x_k\} E(X)=k=1∑∞​xk​⋅P{X=xk​}

10.抽样分布定理
$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$$=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }{)}^2$$\sim {\chi }^2(n-1)$ 【17年18.】

11.泊松分布
P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , . . . ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \quad (k=0,1,...) P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,...)

12.泊松积分
${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\sqrt{\pi }$、${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

如何刷套卷

1.3h限时
2.熟悉会做的题先做，易得分的题先做
3.不空题，知道多少写多少
4.如何利用套卷提分？
查漏补缺，从失分的题中找分数
如考了90，则失了60分。目标是120分，还差30分。就从这丢的60分中找哪30分是经过努力可以拿到的分数，太难的就放过。【从丢掉的分数中找哪些分可以提高】
5.套卷不是刷得越多越好，比数量更重要的是质量。精刷，查漏补缺，真题要格外重视。在刷透真题的基础上，再刷模拟卷。

二、专业课

(一) 数据结构

1.算法题：
申请长度为n的辅助数组，并初始化为0

int *A = new int[n];
for(int i = 0 ;i < n; ++i) A[i] = 0;

算法题：
①给出数据结构类型的定义：单链表结点、二叉树结点
②要写函数名、所传参数，如 int Search_k (LinkList L, int k){ 【09年42.】

2.单链表结点的数据类型定义

typedef struct LNode{int data;struct LNode *next;
}LNode,*LinkList;

要表示一个单链表时，只需声明一个头指针L，指向单链表的第一个结点。

LinkList L;

使用LinkList：强调这是一个单链表
使用LNode *：强调这是一个结点

3.图 分类：无向图、有向图

无向边/边：(v , w) ，(m , n) 或 (w , v) , (n , m) 【17年(1)】
有向边/弧：<v , w> , <m , n>

4.合并有序表：
①最好：比较 min ⁡ { m , n } \min\{m,n\} min{m,n}次
②最坏：比较 $m+n-1$ 次

5.结点数 = 1 + 度数   【16年42】
$n_0+n_1+...+n_k=1+0\cdot n_0+1\cdot n_1+...+k\cdot n_k$

6.队列
(1)循环队列

7.B树
(1)B树所有叶子结点都在同一层上 【09年8.】
(2)B树的阶就是子树的最大值m
(3)关键字永远比子树少1个，两棵子树中间夹一个关键字

8.外部排序
(1)最佳归并树：构造严格k叉树，需要补充的虚结点个数：k-1-u，u=(n-1)%(k-1)

(二) 计组

1.查页表在内存中的位置：
进程的PCB中有页表的起始地址，PCB将页表始址放到页表基址寄存器 PTBR中。

2.页表项地址 = 页表起始地址 + 页号×页表项长度
【其中页表项长度已知，只需要知道 页表始址 和 页号】

3.LA 逻辑地址：<虚拟页号，页内偏移量>
PA 物理地址：<物理页框号，页内偏移量>

4.二级页表：查页目录表(一级页表)，由页目录号得到的物理页框号，是对应的二级页表存储的物理页框。在该页框中找到二级页表，再对比得到的物理页框号是页面所在的页框号。拼接得到页面的物理地址。
二级页表要查两次，但二级页表的TLB只查一次，对比的是完整的虚拟页号。

5.页面、页框 大小相等，页框是内存和磁盘之间数据交换的单位
主存块、Cache块 大小相等，块是内存和Cache之间数据交换的单位

6.Cache的三种映射的访存过程：
①全相联映射：高位均是Cache标记，直接查Cache标记
②直接映射：知道共有多少个Cache行，查行号，对比高位Cache标记是否匹配，有效位是否为1
③组相联映射：通过路数，求出共有多少组，查组号，对比高位Cache标记是否匹配，有效位是否为1

7.TLB只有全相联映射、组相联映射

8.$2^m$路组相联映射，有m bit LRU替换算法控制位

9.组相联映射：特定分组，组内任意位置。
映射的时候，每组只放一块，然后就轮到放下一组。【09年14.】

9.浮点数 ←→ 整数：
(1)int→float：当int的有效位大于24位时，int转float会丢失精度
(2)float→int：①当float表示的数，超过了int能表示的最大范围时，float转int会溢出 ②小数部分若丢失，也会丢失精度

10.溢出
(1)溢出判断：乘法指令【20年43.(4)②】
法一(符号)：有符号数，若正数×正数=负数，则溢出
法二(表示范围)：int型的表示范围 [-2³¹,2³¹-1]，unsigned int型的表示范围 [0,2³²-1]

(2)用标志位判断溢出
OF = 1：带符号数溢出
CF =1 ：无符号数溢出

(3)移位运算导致的溢出：无符号数移位不会溢出，只有带符号数移位才可能因为符号位变化产生溢出 【14年45(3)】

11.2ⁿ-1 的二进制表示为 n个1

12.左规(向左规格化)：小数点不动，整体右移一位，阶码+1
右规(向右规格化)：小数点不动，整体左移一位，阶码-1

13.移位运算：
左移1位 $\iff$ 乘2
右移1位 $\iff$ 除2

算数移位：带符号数
逻辑移位：无符号数

14.IEEE754 表示 (特殊情况)
(1)移码为255，尾数全0： $+\infty$或$-\infty$ (正负看符号位)
(2)移码为0，尾数全0：+0 或 -0
(3)移码为255，尾数非0：NaN
(4)移码为0，尾数非0：非规格化数

15.函数调用的机器级表示：
(1)访问局部变量：
①定义的第一个局部变量：[ebp - 4]
②定义的第二个局部变量：[ebp - 8]
③定义的第三个局部变量：[ebp - 12]、[ebp - 0CH]

(2)访问函数调用的参数 (函数括号内的传递参数)：
①第一个参数：[ebp+8]
②第二个参数：[ebp+12]

16.标志位的生成：
(1)CF = C_n⊕sub 【C_n为最高位的进位。加法sub=0，减法sub=1。异或是模二加法】
CF = 1 表示 无符号数溢出

17.计组 09-15年是唐朔飞老师命题，偏硬件。16-23年是袁春风老师命题，软件结合，没有那么硬了。
注释，打 [ ]是袁版，打()是唐版

18.短变长：先扩展，再解释：
无符号整数：零扩展
带符号整数：符号扩展
【A类型→B类型要扩展，是按原来类型A类型进行扩展】

19.x86特性：
①x86 所有的转移指令都是 相对寻址 (MIPS的转移指令也是相对寻址)：转移指令的后一条指令的起始地址 + 偏移量 = 转移的目的地址，求偏移量   【2014年44.】
②x86的存储方式是 小端存储 (可以用所给数的16进制验证)   【2023年44.】

20.地址计算：长的地址 + 短的偏移量(补码/带符号整数)：短的偏移量先进行符号扩展，再相加   【2013年44.(2)①】

21.条件转移指令向后跳转：向后是指地址增大   【2013年44.(1)】

22.指令异常：
(1)指令溢出：溢出是算术运算的现象。无符号数移位不会溢出。   【2014年45.(3)①】

(2)指令缺页：只有访存指令(load、store)可能产生缺页异常   【2014年45.(3)②】

23.Cache缺失次数：只和访存次数有关，与指令没有直接关系，所以要看每条指令的平均访存次数【2013年(4)】

24.指令Cache缺失率：每次执行指令，要先取指令，要访存。也就是先访问指令Cache，看其中有没有要执行的指令。   【2014年45.(2)】

25.从Cache中访问指令的过程、组相联映射的Cache缺失的处理过程 【20年(3)】
(2)Cache缺失处理过程：将 xxxxx(主存块号) 主存块整块放入Cache第x组的任意一行。将Cache行标记设为xxx(主存字块标记tag)，有效位置为1，并修改LRU位。根据块内地址 xxx 从Cache行中取出指令字。

26.(1)Cache总容量 = 标记项容量 + 数据区容量 = Cache块数×(标记项 + 数据)
标记项 = ①tag + ②有效位 + ③脏位(一致性维护位) + ④LRU替换算法控制位

(2)Cache数据区容量 = Cache块数× 每块大小(数据)   【2014年45.(2)】

27.CPU访问主存的过程：
①将逻辑地址转换为物理地址：先查TLB，TLB不命中再查页表，页表不命中则缺页中断，访问磁盘。然后重新访问TLB，进行虚实地址转换。
②根据物理地址读取数据：先访问Cache，Cache不命中则访问主存。

28.寄存器：
(1)MAR位数 = 地址线根数，MDR位数 = 数据线根数，可寻址主存空间大小 = 2^MAR位数×编址单元
(2)指令寄存器IR：
①作用：存放当前指令
②IR位数 = 指令字长 【若指令为不定长，则IR位数 = 最长的指令的位数】
(3)ALU宽度 = 机器字长

29.n位补码可表示的范围：-2^n-1 ~ 2^n-1-1
8位补码可表示的范围：-2⁷ ~ 2⁷-1 ，即 -128 ~ 127

30.RISC与CISC
(1)RISC大多数指令在一个时钟周期内完成 【09年17.】
(2)RISC的内部寄存器数量相对CISC多 【09年17.】
(3)RISC采用硬布线控制器，特点是：指令执行速度快，指令功能的修改和扩展困难【09年19.】

31.带符号整数加/减运算、无符号正数加/减运算，能利用同一个加法器辅助电路实现的理由：【11年43(3)】
①加法器只负责对二进制数进行计算并产生标志，运算前并不区分有无符号。
②加法a+b可用加法器直接实现。减法a-b = a + [-b]_补可转化为加法进行计算。[-b]_补为[b]_补全部按位取反，再加1。

32.无符号整数加/减运算的结果溢出判断：
①OF = C_n⊕C_n-1 = 1，即加法器完成加法操作时，最高位的进位和次高位的进位不同，则无符号整数溢出
②加法器两个输入端的符号相同，但输出结果(和)与其符号不同

带符号整数加/减运算的结果溢出判断：CF = C_n⊕sub = 1 (加法sub = 0，减法sub = 1)

(三) 操作系统

1.开中断指令与关中断指令都是特权指令，只能在核心态下执行，不能在用户态下执行。故用户程序不能使用开/关中断指令。

2.PV操作：
(1)读者-写者问题：读读不互斥，读写、写写互斥

3.页表的最大长度：页表项数×页表项大小 = $2^{页号位数}$×页表项大小 【13年大题】

4.可用 “无符号右移 <<<” 和 “按位与 &” 操作，取出某几个二进制位的值

【13年大题】
页目录号的表达式：(LA>>>22) & 0x3FF
页号的表达式：(LA>>>12) & 0x3FF

5.访问虚拟地址的时间：【09年大题】
①映射为物理地址的时间：访问TLB、访问页表、处理缺页+重新访问TLB
②访问内存的时间

6.操作系统关心的是文件的物理结构(文件分配方式)：连续分配、链接分配、索引分配
①连续分配方式中，FCB的内容：
文件名、文件起始块号、文件长度

7.文件系统：
①UFS文件系统：Unix操作系统的文件系统，使用索引结点 inode【在Unix⽂件系统中，每个⽂件的目录项对应⼀个inode结点，而inode结点的总数是有上限的(inode区大小 / inode结点大小 = inode个数)，故该文件系统能存储的文件个数也有上限。】
②FAT文件系统：显式链接。文件分配表FAT固定存储在磁盘的某个块中。开机时就去该固定位置将整个FAT读入内存
③NTFS文件系统：Windows的磁盘文件系统

FAT32、NTFS、exFAT

8.文件目录的两种实现形式：
①每一个目录项：一个完整的FCB
②每一个目录项：文件名 + 索引结点编号 (inode结点：存除文件名外的其他信息 + 混合索引表)

在Unix文件系统UFS中，索引节点inode固定地集中存放在连续的某几个块，称为inode区，是一个数组。任何一个文件都对应一个索引结点。

9.访问某个文件的过程：
①根据目录文件，将inode读入内存
②根据inode中的混合索引表，将文件所在的磁盘块读入内存

10.索引结点：
①存放在磁盘分区的固定位置，磁盘块号是固定的：inode区
②每个索引结点(inode结点)的大小是固定的。可以通过inode区起始块号 + 索引结点的编号，随机存取某指定编号的索引结点

11.文件采用连续分配方式的优点：
磁盘寻道时间短，支持随机访问，效率高   【11年46.(1)】

12.FCB集中存放的优点：
随机查找文件名时，只需访问FCB对应的磁盘块。可减少磁盘I/O次数、磁头移动次数   【11年46.(2)】

(四) 计网

1.曼彻斯特编码：
以太网采用曼彻斯特编码，曼彻斯特编码的数据率：波特率一半

若以太网波特率为40MBaud，则数据率为：20Mb/s

2.基带、宽带(频带)
基带信号：将数字信号1和0直接用两种不同的电压表示，然后送到数字信道上传输 (基带传输)
宽带信号：将基带信号进行调制后形成频分复用模拟信号，然后送到模拟信道上传输 (宽带传输、频带传输)

3.编码与调制
编码：→数字信号
调制：→模拟信号

4.各层的主要功能：
①LLC子层：给高层提供服务与接口、建立和释放数据链路层的逻辑连接、差错控制、给帧加序号
②MAC子层：组帧和拆帧、比特差错检测、寻址
③物理层：信号的编码和译码、比特的接收与传输

LLC子层的作用：给帧加序号

5.曼彻斯特编码：速度传输率是码元传输率的一半

6.10Base T ，Base是指基带传输，数字信道

7.Internet和internet：
①Internet是因特网，internet是互联网
②因特网是最大的互联网
③广域网再大，仍然是单一网络。而互联网是多个网络互联。[∴因特网(多个网络互联)比最大的广域网(仍然是一个网络)更大，因为还互联了一些小的。]

8.报文段-IP数据报/IP分组-数据MAC帧-比特流

9.PPP协议，不可靠、不编号、不确认

10.以太网的特点(9个)
(1)以太网MAC帧的数据部分：46B~1500B
①进行填充：小于46B (2EH)
②进行分组：大于1500B

46B=2EH，若IP数据报总长度不足46B=2EH，则经过快速以太网传输时需要进行填充 [2012年(1)③]

11.交换机的自学习算法：无对应转发表表项，则会向除源端口外的其他端口广播 。并将来源MAC地址和端口写入转发表。

12.片偏移，每个分片大小是8B的整数倍。指的是分片的数据部分大小是8B的整数倍，不是加了首部后分片的总长度。

13.与255相与，值不变。与0相与，全为0。不必写成二进制进行与运算，可以简化计算。

14.TCP拥塞控制：
若下次翻倍后会超过门限值ssh，则取门限值作为下一轮的拥塞窗口大小，即 cwnd=ssh；

例如：门限值是6，则接收窗口变化应当是：1-2-4-6-7-8-9-…

15.使用UDP数据报封装的应用层协议：DNS、RIP
使用TCP封装的应用层的协议：BGP、FTP、SMTP、HTTP

16.主机和本地域名服务器中有高速缓存，可能存储了要访问的网站的域名与IP地址的映射，就不必再发出DNS查询请求。

17.GBN：累计确认：回复ACKn，则代表n及n以前的都正确接收
SR：没有累计确认的特性。一个一个确认。

18.数据链路层的滑动窗口 和 TCP的滑动窗口的区别：TCP的滑动窗口大小可变，而数据链路层的滑动窗口是固定死的，大小不可变。

19.主机封装DHCP发现报文的IP分组的源IP地址和目的IP地址？
源IP地址：0.0.0.0；目的IP地址：255.255.255.255

20.IP组播的MAC地址：
前24位 01-00-5E + 第25位是0 + 后23位用IP地址代替

21.HTTP 持久连接 非流水线方式：TCP连接建立后不断开，传web页面一个RTT，传每个元素一个RTT

22.路由表表项：[目的网络IP地址，子网掩码，下一跳IP地址，接口 ]
默认路由的目的网络IP地址和子网掩码 都是 0.0.0.0

23.TCP连接建立过程中，从哪一次开始可以发送数据？
第三次握手 时可以携带数据。

24.网络 vs 网段
①网络：同一个广播域，路由器的同一个端口 + 子网掩码与网络号相与的结果相同 【同一个广播域，同一个路由器端口，不一定是同一个网络，可能接错了。如16年39.】
跨网络，则MAC地址发生变化。
②网段：同一个冲突域，交换机的同一个端口

25.MTU指该网段限制的数据部分的最大长度，不包含首部+尾部。
IP数据报的片偏移字段：仅指数据部分的偏移

27.生存时间TTL：是减去经过的路由器个数，而不是链路费用 (路径长度)

29.确认帧总由数据帧捎带，则计算信道利用率时，$t_2=t_1$，$T=t_1+RRT+t_2$

30.TCP流量控制：
seq、ack：以字节为单位 【16年(3)】

31.TCP报文段、IP数据报、MAC帧的题目：
(1)第一步，①将IP地址翻译为16进制，找到对应位置；②MAC地址找到对应位置。
(2)TCP首部长度：数据偏移字段，以4B为单位
(3)UDP数据报的总长度：以1B为单位。UDP首部为8B。

32.数据传输率的单位：将KB/s 化成 b/s，kb/s，Mb/s 【16年(3)②】

33.浏览器访问某域名所经历的详细过程：【2021年(2)(3)】
①DNS→IP地址：递归查询/迭代查询
②IP地址→MAC地址：ARP表有则直接转换。没有，则 ARP请求分组(广播)→，ARP响应分组(单播)←
③TCP连接建立 (三次握手)
④HTTP请求：html页面 + 图像等元素

34.十六进制→二进制→十进制的转换：
A = 10 = 1010B
B = 11 = 1011B
C = 12 = 1100B
D = 13 = 1101B
E = 14 = 1110B
F = 15 = 1111B

35.线路效率 = $\frac{吞吐率}{信道带宽}$

36.100Base-T：100Mb/s

37.套接字 Socket = (主机IP地址，端口号)

38.最小帧长 = RTT×数据传输率
以太网帧的最小帧长：64B

39.若有nbit主机号，则：
(1)总可用的主机IP地址个数为：$2^n-2$
$n$位主机号，则可分配的主机IP地址有 $2^n-2$ 个。(减去主机号全0的本网络、主机号全1的广播地址)【10年37.】
(2)还可分配的主机IP地址个数为：$2^n-2-$已分配的主机数$-$已分配的路由器端口数

40.若A到B要经过多条链路，记得 每条链路都有发送时延(传输时延)

41.数据交换方式：
(1)报文交换：报文交换耗时为整数，总耗时长
(2)分组交换：分组交换，链路上有n个路由器，则多n个零头。总耗时短

42.要构造以太网数据帧时，用什么协议确定目的MAC地址？   【11年47.(2)】
ARP协议

每台主机都设有一个ARP高速缓存，用来存放本局域网上各主机和路由器的IP地址到MAC地址的映射表，称ARP表。以目的IP地址对照ARP表，若有对应MAC地址，则用该MAC地址作为目的MAC地址。若没有，则广播 ARP请求分组 FF-FF-FF-FF-FF-FF

咸鱼学长传记

咸鱼传记：
1.张鸿林，1994年生，云南普洱人，少数民族。15年大学毕业，18年二战考入北大软微（24岁），做操作系统。
2.本科：北京理工大学-软件工程，2012-2015。大学期间很浪，三个舍友都出国留学了，自己只能去打工。2015年毕业做java手游开发(不良人)，月薪1w，年薪12w，但当时手游大火，年终奖发了24w。工作了一年很迷茫打算考研。
3.一战：16年8月辞职，复习了4个多月，没考上。一战数学56分，英语57分
4.二战：工作的钱花光了，不好意思向家里要钱，打算边工作边考研。被老父亲制止，说目光要放长远，目标是要考上研而不是省钱。脱产复习了一年，报了数学线下班，中间周期性焦虑，觉得自己考不上。
上考场时的复习进度：①408：只做了真题，单科书大题只做了一半。②数学：真题做了06-17年
5.二战成绩：①软微自命题：143 ②数学：117 ③英语：58 ④政治68 总分：386。二战上岸北大软微
6.入学前，风华招人兼职讲操作系统。发现还蛮喜欢讲课，就正式进入了王道。
7.喜欢音乐，初始时以五月天的《咸鱼》命名了自己的网名。

三、英语

(一) 完型

(二) 阅读

看题型：细节题、主旨题、推断题。答案都在文中能找到出处。

(三) 新题型

1.行文思路：①现象 → ②问题 → ③原因 →④解决方案 【13年新题型(七选五)】

2.段首、段尾、空前、空后
①小标题—段落中心
②排序题-关注首尾逻辑
③七选五-关注上下句逻辑：

3.排序首段：注意倒装句

In his 1936 work How to Win Friends and Influence People, Dale Carnegie wrote:…
该句的his是指代Dale Carnegie，是倒装句，句内指代。而不是指代上文。

4.末段作用：总结全文、点明主旨、深化中心、呼应开头、发出呼吁

(四) 翻译：划分句子成分

1.时间状语提至句首
2.注意不要将 短小的后置定语 错认为是主句的谓语和宾语。【15年：immigrants (bound for territory) crossed the Atlantic.】

1.谢一帆8分步骤：
不要直接写，先打草稿
①一个一个小短句写下来，按照顺序组起来
②根据文义把某些单词的意思改写，即意译

晶婷老师：前期训练需要先打草稿调整，只有训练的多了，考场上才能不打草稿直接出答案。

2.技巧：
①增译、删译
②补充主语
③根据语境，将某些单词的词意进行意译
④定语从句，可以拆分成两个句子。该名词在前一小句中作宾语，在后一小句中作主语。

3.中文和英文思维方式的区别：
①中文多主动，英文多被动
②中文多重复，英文多省略
③中文多短句，英文多长句
④英文定状后置，中文定状前置。(时间状语、地点状语前置)

(五) 作文

整理优秀的、通用的句子。分为 段首、段中、段尾，分别都要整理句子。
(1)小作文：书信为主：模板+结合题目
(2)大作文：英一图画：模板+扣题句

学习方法

1.学累了的休息方式：4s

①speak：和同学交流复述学过的内容 (费曼学习法)
②switch：学累了就换一科，大脑就能得到休息
③sports：运动。能增加神经元数量
④sleep：睡觉时大脑会处理废物，组织信息，加强记忆。 (空卡建议：睡前30分钟复习，别看手机)

2.学习感悟

1.学习的本质是重复，是温故而知新
2.实在不会做，照着答案边做边抄。抄一遍，效果会很好。【不会做，就照答案抄。抄着抄着就有感觉了】对于完全没有思路的题，只用眼睛看两遍答案是学不会的，过一周就全忘记了。得抄写答案的解答过程。
3.看起来越难的东西，其实考的越简单，套路越少。
看起来越简单的东西，其实考的越难，套路很多。

3.对抗焦虑