一、LoRA

在大语言模型中，参数矩阵$W\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$的维度往往可以达到百亿甚至千亿，如果从头开始训练将会特别的消耗时间和资源。因此往往大家都会预先训练好一组初始参数$W_0\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$，然后针对不同的任务进行微调，即$W=W_0+\Delta W$。对于微调量，通常假设$\Delta W$是一个低秩矩阵，即$\Delta W=BA$，$B\in {\mathbb{R}}^{d\times r}$，$A\in {\mathbb{R}}^{r\times d}$，$r<<d$，实际结果中也往往能得到很好的效果[2]，如图1所示。因此我们针对特定任务只需要重新训练矩阵$B,A$即可，它们的维度也远远小于原矩阵$W$的维度。初始化时设置$A$是随机生成的矩阵（高斯分布均值为0, 标准差为$\sigma$），$B$为零矩阵可以保证初始微调量$\Delta W$为0。

而在推理过程中，推理输出$h=Wx$也可以表示成
$$h=W_{0}x+BAx.$$

图1：LoRA算法原理图[1]

下图是截取原文中的部分实验结果。相比于fine-tuning (FT)的方法，LoRA算法只需要很少的训练模型参数就可以得到相似的效果。

图2：LoRA实验结果[1]

二、LoRA性能加速

2.1 LoRA+

LoRA给两个低秩适配器矩阵$A,B$设置了相同的学习率。在LoRA+[3]中，研究人员为适配器矩阵A和B设置不同的学习率，通过对学习率进行精细调整，确保在大模型宽度下，微调过程可以有效地进行特征学习。文中实验说明在相同的计算成本下，LoRA+能获得1% - 2%的性能提高和2倍的计算加速。

图3：LoRA和LoRA+算法比较[3]

2.2 QLoRA

LoRA成功地减少了所需要的模型的参数个数。除此之外，我们还需要注意模型的实际计算时间(包括训练和推理)也和使用的数据结构有紧密的关系。对于相同的运算，低精度(如FT4)的数据相比于高精度(FT32)的数据花费的时间要少很多。同时，存储高精度数据还需要更多的内存，对于大语言模型而言也是一笔很大的开销。

对于LoRA的计算公式

QLoRA的降精度操作具体如下：

可以看到，高维参数$W$只使用低精度4 bit的FT4数据类型，只有和梯度有关的参数$L_1,L_2$的计算用到相对高精度的BF16数据类型，而$L_1,L_2$本身的维度远小于$W$(低秩假设)。这样数据存储时使用FT4可以大大减少$W$所需内存，而在需要计算时，我们将需要更新的部分的$W$(例如1%的参数量)从FT4转化为高精度数据进行计算，这样只需要更新参数时候需要高精度数据，并且参数更新完后又变成低精度数据存储。

关于QLoRA方法，数据量化也分两层：

4比特量化(Quantization)

在对$W$的量化过程中，首先要将参数$W$归一化使其满足正态分布，即$\mathcal{N}(0,1)$。通常会采用分块归一化，每一块会有对应的系数$c_1$。

二次量化(Double Quantization)

对于每一个block都会一个系数$c_1$，在计算的过程中我们可以使用高精度数据类型(FT32)，但是存储的时候我们也只需要使用低精度数据类型(FT8)就可以了。这样可以进一步减少所需要的内存空间。

基于LoRA算法还有很多改进的方法，感兴趣的同学可以参看[5]，列举了一些最新相关成果。

参考文献

[1] LoRA: Hu, E. J., Shen, Y., Wallis, P., Allen-Zhu, Z., Li, Y., Wang, S., … & Chen, W. (2021). Lora: Low-rank adaptation of large language models. International Conference on Learning Representations (ICLR), 2022

[2] Armen Aghajanyan, Luke Zettlemoyer, and Sonal Gupta. Intrinsic Dimensionality Explains the Effectiveness of Language Model Fine-Tuning. Proceedings of the 59th Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics and the 11th International Joint Conference on Natural Language Processing

[3] Hayou, S., Ghosh, N., & Yu, B. (2024). LoRA+: Efficient Low Rank Adaptation of Large Models. arXiv preprint arXiv:2402.12354.

[4] Dettmers, Tim and Pagnoni, Artidoro and Holtzman, Ari and Zettlemoyer, Luke (2023). QLoRA: Efficient Finetuning of Quantized LLMs. arXiv preprint arXiv:2305.14314

[5] https://towardsdatascience.com/an-overview-of-the-lora-family-515d81134725