素数判定的优化-编程知识

常规写法亲民，高效写法炼人。用素数的基本特性写，易读易懂；用6k±1特性写，高效但却得有学过《数论》。

(笔记模板由python脚本于2024年05月09日 19:47:00创建，本篇笔记适合初通Python，熟悉六大基本数据_{(str字符串、int整型、float浮点型、list列表、tuple元组、set集合、dict字典)}的coder翻阅)

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常规写法亲民 素数判定的优化 (高效写法炼人)

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目录

◆ 素数判定的优化
- 0、“高级”代码
- 1、最平民的写法
- 2、算法优化
- - 2.1 剔除偶数
  - 2.2 平方根特性
  - 2.3 6k±1规则
  - 2.4 素数列表
  - 2.5 代码解析
- 3、结语
- 4、我关于“素数”的学习笔记
- 5、完整源码(Python)

◆ 素数判定的优化

0、“高级”代码

‘高效的素数判定算法’

当我读懂这段代码的时候(这是一个非法高效的算法，找出10⁶以内的所有素数，用时不到6秒)，就有些感叹了。解决“问题”的代码也和写文章的词句一样，也是要“推敲”的，在不同的语境表达不一样的“情感”。所以，有了这篇笔记。😋

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1、最平民的写法

素数是一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。换句话说，如果一个数只能被1和它本身整除，那么这个数就是素数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19、23等都是素数。

根据素数的定义可以写法判断素数的基本算法。这是最简单直接的方法。对于给定的数n，如果n不是2，则检查从2到n的所有整数是否能整除n。如果能被整除，则n不是素数；如果都不能整除，则n是素数。

python代码


def isPrime(num: int) -> bool:''' 素数判定 '''if num < 2:return False # 小于2的都不是素数for i in range(2, num):if num%i == 0:return False # 当num有1和自身以外的因子，不是素数return True # 经过前面的排查，就只剩素数了

效率

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2、算法优化

2.1 剔除偶数

除2之外，偶数都不是素数。据此特性，可以首先剔除偶数，减少试除次数而增效。

Python代码


def isPrime(num: int) -> bool:''' 素数判定 '''if num < 2:return False # 小于2的都不是素数if num == 2: return True # 2是素数elif num%2 == 0: return False # 剔除偶数for i in range(3, num, 2): # 只试除大于2的奇数if num%i == 0:return False # 当num有1和自身以外的因子，不是素数return True # 经过前面的排查，就只剩素数了

效率

减少了一半试除，增效一倍。

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2.2 平方根特性

一个自然数的因子，必定不大于其平方根。因为如果自然数n有一个因子大于sqrt(n)，那么必定有一个因子小于sqrt(n)。
据此，可以优化算法，提升效率。

Python代码


def isPrime(num: int) -> bool:''' 素数判定 '''if num < 2:return False # 小于2的都不是素数for i in range(2, num):if i*i > num: break # 一个数的因子，必定小于等于其平方根if num%i == 0:return False # 当num有1和自身以外的因子，不是素数return True # 经过前面的排查，就只剩素数了

效率

减少了试除的一半(当被判定的数是素数时)，次数效率提升了近50倍。

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2.3 6k±1规则

所有的素数除了2和3都形如6k±1的形式，其中k是非负整数。这个规则可以减少试除法中需要检查的数的数量。

Python代码


def isPrime(num: int) -> bool:''' 素数判定 '''if num < 2:return False # 小于2的都不是素数if num == 2 or num == 3: return True # 2和3都是素数elif num%2 == 0 or num%3 == 0: return False # 剔除2、3的倍数for i in range(5, int(num**0.5)+1, 6): # 只检查6k±1的自然数if num%i == 0 or num%(i+2) == 0:  return False # 大于5的素数都满足6k±1的形式，6k形式的数一定是合数return True # 经过前面的排查，就只剩素数了

效率

这即是，开篇图片中的“最佳算法”。

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2.4 素数列表

找出限定范围内的所有素数，如果有上限平方根以内的素数列表，+上6k±1规则，可以更高效的“运作”。如查找10⁶以内的所有素数：

Python代码


def isPrime(num: int) -> bool:if num > 10**6-1:input(f"\n{' 本函数仅限于查找10^6以内的素数 ':~^28}")return # 退出代码执行返回命令行if num < 2:return False # 剔除2以下的数if 1 < num < 4:return Trueif num%2 == 0 or num%3 == 0:return Falsemyprimes = (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997) # 1000以内大于5的素数，由于前面已剔除2、3的倍数，就不再试除2、3。本列表仅限于查找100w以内的素数myprimes = iter(myprimes)for i in myprimes:if i*i > num:break if num%i == 0:return Falsereturn True#isPrime(1000_000+1) # 调试报错提示

效率

由试炼可鉴，用时比6k±1规则又缩短了近1/4。

报错提示调试

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2.5 代码解析

对2.3节代码的评价
1行：函数定义，接受一个整数参数 num，并返回一个布尔值。
2行：函数的文档字符串，简要描述了函数的功能。
4行：如果 num 小于2，直接返回 False，因为素数定义为大于1的自然数。
6-7行：如果 num 等于2或3，直接返回 True，因为2和3都是素数。
9行：如果 num 是2或3的倍数，返回 False，因为这些数都是合数。
11行：这里开始了一个 for 循环，循环的范围是从5到 int(num**0.5)+1，步长为6。这个循环的设计是高效的，因为它只检查了可能是素数的一部分数字。所有大于3的素数都可以表示为6k±1的形式，其中k是自然数，因为所有形如6k的数都可以被2和3整除，所以不可能是素数。
12-13行：在循环内部，检查 num 是否能被 i 或 i+2 整除。如果能，那么 num 不是素数，返回 False。
15行：如果循环结束都没有找到能整除 num 的数，那么 num 是素数，返回 True。

总体来说，这段代码是高效的，因为它避免了不必要的检查，并且利用了素数的性质来减少计算量。这种方法的效率很高，尤其是对于较大的数。代码的逻辑清晰，注释也很好地解释了每一步的目的。这是一个很好的素数判定函数的实现。

对2.4节代码的解析
1-4行：首先检查输入的数值是否超过函数的处理范围（10^6 - 1）。如果是，则打印一条消息并退出函数，返回 None。这里使用了一个格式化字符串来打印居中的消息，并且使用了脱字符号 ~ 来填充空白。
6行：如果输入的数值小于2，直接返回 False，因为2是最小的素数。
8行：对于2到4之间的数，直接返回 True，因为它们都是素数。
10行：如果 num 是2或3的倍数，则返回 False，因为合数肯定能被2或3整除。
12行：定义了一个包含小于1000的所有素数的元组 myprimes，这些素数都是大于5的。之所以只需要这些素数，是因为前面的代码已经排除了2和3的倍数。
13行：通过 iter 函数将 myprimes 转换为一个迭代器。这样做是为了在接下来的循环中逐个使用这些素数。
15-17行：使用一个 for 循环遍历 myprimes 中的素数。循环中有一个判断，一旦当前素数的平方大于 num，就结束循环。这是因为如果一个数不是素数，那么它必定有一个因子是小于或等于它的平方根的。
18行：在循环中，如果 num 能够被当前素数整除，那么 num 不是素数，函数返回 False。
20行：如果循环结束都没有找到能整除 num 的素数，那么 num 是素数，函数返回 True。

整体来看，这个函数通过排除法来确定一个数是否为素数。它首先排除那些明显不是素数的数（小于2的数和2或3的倍数），然后通过只检查小于1000的素数来减少计算量。这种方法的效率相对较高，尤其是对于较小的数。然而，对于非常大的数，这种方法可能不是最优的，因为它需要预先定义一个相对较大的素数列表。

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3、结语

代码没有“最好”只有“更好”，根据实际需求选择适宜的算法和相应的“代码表现形式”，才是“代码编撰”最正确的打开方式。

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4、我关于“素数”的学习笔记

5个写自定义函数小练习
地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/134321362
浏览阅读：508
点赞：2 收藏：2 评论：2
(本篇笔记于2023-11-10 00:37:19首次发布，最后修改于2023-11-10 22:48:13)
幸运素数(找出给定区间的所有幸运素数)
地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/134346918
浏览阅读：341
点赞：1 收藏：2
(本篇笔记于2023-11-11 12:59:47首次发布，最后修改于2023-11-11 22:30:33)
素数查找(def自定义函数练习)
地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/118497087
浏览阅读：332
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5、完整源码(Python)

(源码较长，点此跳过源码)
```
#!/sur/bin/nve python 
# coding: utf-8 
from time import timedef isPrime(num: int) -> bool:if num > 10**6-1:input(f"\n{' 本函数仅限于查找10^6以内的素数 ':~^28}")return # 退出代码执行返回命令行if num < 2:return False # 剔除2以下的数if 1 < num < 4:return Trueif num%2 == 0 or num%3 == 0:return Falsemyprimes = (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997) # 1000以内大于5的素数，由于前面已剔除2、3的倍数，就不再试除2、3。本列表仅限于查找100w以内的素数myprimes = iter(myprimes)for i in myprimes:if i*i > num:break if num%i == 0:return Falsereturn True#isPrime(1000_000+1) # 调试报错提示def is_prime(num: int) -> bool:if num < 2:return Falseif num < 4:return Trueif num % 2 == 0 or num % 3 == 0:return False# 使用 for 循环代替 while 循环for i in range(5, int(num**0.5) + 1, 6):if num % i == 0 or num % (i + 2) == 0:return Falsereturn Truedef isPrime4(num: int) -> bool:''' 素数判定 '''if num < 2:return False # 小于2的都不是素数if num == 2 or num == 3:return True # 2和3都是素数elif num%2 == 0 or num%3 == 0:return False # 剔除2、3的倍数for i in range(5, int(num**0.5)+1, 6): # 只检查6k±1的自然数if num%i == 0 or num%(i+2) == 0:  return False # 大于5的素数都满足6k±1的形式，6k形式的数一定是合数return True # 经过前面的排查，就只剩素数了#n = 100
n: int = 1000_000
start = time()
#primes = [i for i in range(n) if is_prime(i)]
primes = [i for i in range(n) if isPrime(i)]if (k := len(primes))<= 100:print(f"\n{primes}")print(f"\n找到{n}以内的素数有{k}个\n(用时{time()-start:.4f}秒)")
```
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我的HOT博：

本次共计收集 311 篇博文笔记信息，总阅读量43.82w。数据于2024年03月22日 00:50:22完成采集，用时6分2.71秒。阅读量不小于6.00k的有 $7$ 篇。
- 001
  标题：让QQ群昵称色变的神奇代码
  _{(浏览阅读 5.9w )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/122566500
  点赞：25 收藏：86 评论：17
  摘要：让QQ昵称色变的神奇代码。
  首发：2022-01-18 19:15:08
  最后编辑：2022-01-20 07:56:47
- 002
  标题：Python列表(list)反序(降序)的7种实现方式
  _{(浏览阅读 1.1w )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/128271700
  点赞：8 收藏：35 评论：8
  摘要：Python列表(list)反序(降序)的实现方式：原址反序，list.reverse()、list.sort()；遍历，全数组遍历、1/2数组遍历；新生成列表，resersed()、sorted()、负步长切片[::-1]。
  首发：2022-12-11 23:54:15
  最后编辑：2023-03-20 18:13:55
- 003
  标题：pandas 数据类型之 DataFrame
  _{(浏览阅读 9.7k )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/124525814
  点赞：7 收藏：36
  摘要：pandas 数据类型之 DataFrame_panda dataframe。
  首发：2022-05-01 13:20:17
  最后编辑：2022-05-08 08:46:13
- 004
  标题：个人信息提取(字符串)
  _{(浏览阅读 8.2k )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/124244618
  点赞：2 收藏：15
  摘要：个人信息提取(字符串)_个人信息提取python。
  首发：2022-04-18 11:07:12
  最后编辑：2022-04-20 13:17:54
- 005
  标题：Python字符串居中显示
  _{(浏览阅读 7.6k )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/122163023
  评论：1
- 006
  标题：罗马数字转换器|罗马数字生成器
  _{(浏览阅读 7.5k )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/122592047
  摘要：罗马数字转换器|生成器。
  首发：2022-01-19 23:26:42
  最后编辑：2022-01-21 18:37:46
- 007
  标题：回车符、换行符和回车换行符
  _{(浏览阅读 6.0k )}
  地址：https://blog.csdn.net/m0_57158496/article/details/123109488
  点赞：2 收藏：3
  摘要：回车符、换行符和回车换行符_命令行回车符。
  首发：2022-02-24 13:10:02
  最后编辑：2022-02-25 20:07:40
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  (此文涉及ChatPT，曾被csdn多次下架，前几日又因新发笔记被误杀而落马。躺“未过审”还不如回收站，回收站还不如永久不见。😪值此年底清扫，果断移除。留此截图，以识“曾经”。2023-12-31)
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来源：老齐教室

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