有一位国王拥有5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人人数也不同。
例如，有的金矿储量是5ookg黄金，需要5个工人来挖掘;有的金矿储量是2ookg黄金，需要3个工人来挖掘...... 如果参与挖矿的工人的总数是10。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半的金矿。要求用程序要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿?
金矿按照性价比从高到低进行排序，排名结果如下:
第1名，350kg黄金/3人的金矿，人均产量约为116.6kg黄金。
第2名，500kg黄金/5人的金矿，人均产量为100kg黄金。
第3名，400kg黄金/5人的金矿，人均产量为80kg黄金。
第4名，300kg黄金/4人的金矿，人均产量为75kg黄金。
第5名，200kg黄金/3人的金矿，人均产量约为66.6kg黄金。
由于工人数量是10人，优先挖掘性价比排名为第1名和第2名的金矿之后，工人还剩下2人，不够再挖掘其他金矿了。
得出的最佳金矿收益是350+500即850kg黄金。
解决思路是使用贪心算法。这种思路在局部情况下是最优解，但是在整体上却未必是最优的。
如果我放弃性价比最高的350kg黄金/3人的金矿，选择500kg黄 金/5人和400kg黄金/5人的金矿，加起来收益是900kg黄金，是不是大于你得到的850kg黄金?
动态规划，就是把复杂的问题简化成规模较小的子问题，再从简单的子问题自底向上一步一步递推，最终得到复杂问题的最优解。
10个工人在前4个金矿的收益，和7个工人在前4个金矿的收益+最后一个金矿的收益谁大谁小了。
首先针对10个工人4个金矿这个子结构，第4个金矿（300kg黄金/4人）可以选择挖与不挖。根据第4个金矿的选择，问题又简化成了两种更小的子结构:
1、10个工人在前3个金矿中做出最优选择。
2、(10-4=6）6个工人在前3个金矿中做出最优选择。
相应地，对于7个工人4个金矿这个子结构，第4个金矿同样可以选择挖与不挖。根据第4个金矿的选择，问题也简化成了两种更小的子结构:
1、7个工人在前3个金矿中做出最优选择。
2、(7-4=3）3个工人在前3个金矿中做出最优选择。
就这样，问题一分为二，二分为四，一直把问题简化成在0个金矿或0个工人时的最优选择，这个收益结果显然是0，也就是问题的边界。
这就是动态规划的要点:确定全局最优解和最优子结构之间的关系，以及问题的边界。
这个关系用数学公式来表达，叫作状态转移方程式。
金矿数量设为n，工人数量设为w，金矿的含金量设为数组g[]，金矿所需开采人数设为数组p[]，设F (n，w）为n个金矿、w个工人时的最优收益函数，那么状态转移方程式如下:
F(n，w) =0 (n=0或w=0) 问题边界，金矿数为0或工人数为0的情况。
F(n,w)=F(n-1,w)(n≥1,w<p[n-1]) 当所剩工人不够挖掘当前金矿时，只有一种最优子结构。
F(n,w)= max(F(n-1,w),F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])(n≥1,wzp[n-1]) 在常规情况下，具有两种最优子结构（挖当前金矿或不挖当前金矿）。
在上图中，标为橘色的方法调用是重复的。可以看到F (2，7) 、F(1，7)、F (1，2)这几个入参相同的方法都被调用了两次。
当金矿数量为5时，重复调用的问题还不太明显。金矿数量越多，递归层次越深，重复调用也就越多，这些无谓的调用必然会降低程序的性能。
动态规划的另一个核心要点:自底向上求解。
此时，最后1行最后1个格子所填的900就是最终要求的结果，即5个金矿、10个工人的最优收益是9ookg黄金。
使用二维数组来代表表格
def get_best_gold(worker,person=[],gold=[]):''':param worker: 工人数量:param person: 金矿开采人数:param gold: 金矿存储量:return: 最优收益'''#初始化表格0r_table=[[0 for i in range(worker+1)] for j in range(len(gold)+1)]double_for(r_table)print('&'*50)#填充表格数据for i in range(1,len(gold)+1):for j in range(1,worker+1):if j<person[i-1]:r_table[i][j]=r_table[i-1][j]else:r_table[i][j] =max(r_table[i - 1][j],r_table[i - 1][j-person[i-1]]+gold[i-1])double_for(r_table)#返回最后一个格子的数据return r_table[len(gold)][worker]def double_for(ll):for row in ll:print(row)if __name__ == '__main__':#采矿人数person=[5,5,3,4,3]#采矿黄金量gold=[400,500,200,300,350]print(get_best_gold(10, person, gold))
程序利用双循环来填充一个二维数组，所以时间复杂度和空间复杂度都是O ( nw) ，比递归的性能好多啦!
def get_best_gold2(worker,person=[],gold=[]):'''优化:param worker: 工人数量:param person: 金矿开采人数:param gold: 金矿存储量:return: 最优收益'''#初始化表格0results=[0]*(worker+1)print(results)#填充一维数据for i in range(1,len(gold)+1):for j in range(worker,0,-1):if j>=person[i-1]:results[j] =max(results[j],results[j-person[i-1]]+gold[i-1])print(results)#返回最后一个格子的数据return results[worker]if __name__ == '__main__':#采矿人数person=[5,5,3,4,3]#采矿黄金量gold=[400,500,200,300,350]print(get_best_gold2(10, person, gold))
空间复杂度降低到了O (n)。
