文章目录
- 1. 四个子空间的相互关系
- 2. 正交向量
- 3. 无解方程求解
1. 四个子空间的相互关系
对于m行n列的矩阵A来说，矩阵A的行空间的秩等于矩阵A的列空间的秩
R a n k ( A ) = R a n k ( A T ) = r (1) Rank(A)=Rank(A^T)=r\tag{1} Rank(A)=Rank(AT)=r(1)
A X = 0 ; A T X = 0 (2) AX=0;A^TX=0\tag{2} AX=0;ATX=0(2)
- 可以得矩阵A的零空间的秩为：
R a n k ( N ( A ) ) = n − r (3) Rank(N(A))=n-r\tag{3} Rank(N(A))=n−r(3) - 可以得矩阵 A T A^T AT的零空间的秩为：
R a n k ( N ( A T ) ) = m − r (4) Rank(N(A^T))=m-r\tag{4} Rank(N(AT))=m−r(4)
- 对于 A x = 0 Ax=0 Ax=0，可以看出如下：
[ a 1 a 2 ⋮ a m ] x = 0 ⇒ [ a 1 x a 2 x ⋮ a m x ] = 0 (5) \begin{bmatrix}a_1\\\\a_2\\\\\vdots\\\\a_m\end{bmatrix}x=0\Rightarrow \begin{bmatrix}a_1x\\\\a_2x\\\\\vdots\\\\a_mx\end{bmatrix}=0\tag{5} a1a2⋮am x=0⇒ a1xa2x⋮amx =0(5)
所以A的行空间向量与AX=0的零解空间垂直； - 对于 A T y = 0 A^Ty=0 ATy=0，可以看出如下：
[ b 1 b 2 ⋮ b n ] y = 0 ⇒ [ b 1 y b 2 y ⋮ b m y ] = 0 (6) \begin{bmatrix}b_1\\\\b_2\\\\\vdots\\\\b_n\end{bmatrix}y=0\Rightarrow \begin{bmatrix}b_1y\\\\b_2y\\\\\vdots\\\\b_my\end{bmatrix}=0\tag{6} b1b2⋮bn y=0⇒ b1yb2y⋮bmy =0(6)
所以A的列空间向量与 A T y = 0 A^Ty=0 ATy=0的零解空间垂直；
2. 正交向量
假设我们两个向量x,y 用图形表示如下：
- 计算不同向量：
x 2 = x T x ; y 2 = y T y ; ( x + y ) 2 = ( x + y ) T ( x + y ) = x T x + x T y + y T x + y T y ; (7) x^2=x^Tx;y^2=y^Ty;(x+y)^2=(x+y)^T(x+y)=x^Tx+x^Ty+y^Tx+y^Ty;\tag{7} x2=xTx;y2=yTy;(x+y)2=(x+y)T(x+y)=xTx+xTy+yTx+yTy;(7)
x 2 + y 2 − ( x + y ) 2 = x T x + y T y − x T x − y T y − x T y − y T x (8) x^2+y^2-(x+y)^2=x^Tx+y^Ty-x^Tx-y^Ty-x^Ty-y^Tx\tag{8} x2+y2−(x+y)2=xTx+yTy−xTx−yTy−xTy−yTx(8) - 当向量垂直时，由勾股定理可得 x 2 + y 2 − ( x + y ) 2 = 0 x^2+y^2-(x+y)^2=0 x2+y2−(x+y)2=0:
x 2 + y 2 − ( x + y ) 2 = x T x + y T y − x T x − y T y − x T y − y T x = 0 (9) x^2+y^2-(x+y)^2=x^Tx+y^Ty-x^Tx-y^Ty-x^Ty-y^Tx=0\tag{9} x2+y2−(x+y)2=xTx+yTy−xTx−yTy−xTy−yTx=0(9) - x T y = y T x x^Ty=y^Tx xTy=yTx
− x T y − y T x = − 2 x T y = 0 ⇒ x T y = 0 (10) -x^Ty-y^Tx=-2x^Ty=0\Rightarrow x^Ty=0\tag{10} −xTy−yTx=−2xTy=0⇒xTy=0(10)
所以当向量x和向量y垂直时，可以得到如下结果：
x T y = y T x = 0 (11) x^Ty=y^Tx=0\tag{11} xTy=yTx=0(11)
假设矩阵A表示如下：
A = [ 1 2 5 2 4 10 ] [ x 1 x 2 x 3 ] ; m = 2 , n = 3 , r = 1 ; r ( N ( A ) ) = n − r = 3 − 1 = 2 (12) A=\begin{bmatrix}1&2&5\\\\2&4&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\\\\x_3\end{bmatrix};m=2,n=3,r=1;r(N(A))=n-r=3-1=2\tag{12} A= 1224510 x1x2x3 ;m=2,n=3,r=1;r(N(A))=n−r=3−1=2(12)
- 子空间S正交与子空间T表明，在子空间中的任意向量 s 1 s_1 s1正交于在子空间中的任意向量 t 1 t_1 t1
3. 无解方程求解
如何求解无解方程的解，假如Ax=b无解，那么我们想在这个条件下求出最优的解？比如说当矩阵A里面有很多坏数据的时候，我们无法通过正常途径求解方程，所以我们要求出最优解。
