【数据结构】数据结构大汇总 {数据结构的分类总结：定义和特性、实现方式、操作与复杂度、适用场景、相关算法、应用实例}

一、线性结构

1.1 顺序表

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  1. 定义和特性：顺序表是一种线性表的存储结构，它采用一段地址连续的存储单元依次存储线性表中的元素。顺序表具有随机访问的特性，即可以通过元素的下标直接访问元素。

  2. 实现方式：顺序表可以通过数组来实现，数组的下标即为顺序表中元素的位置。实现方式简单高效，支持常数时间的随机访问。

  3. 操作与复杂度：顺序表支持基本的插入、删除、查找等操作。其中，随机访问的时间复杂度为O(1)，顺序查找的时间复杂度为O(n)，插入和删除操作的时间复杂度为O(n)。顺序表的空间复杂度为O(n)。

  4. 适用场景：顺序表适用于元素个数固定或变化不大的情况，以及需要经常进行随机访问而不太频繁插入和删除操作时效果较好。由于对内存的连续性要求，对于较大的动态数据集合，可能需要频繁扩展内存并进行数据移动，会影响性能。

  5. 相关算法：顺序表的算法包括顺序查找、二分查找等，这些算法可以利用顺序表的特性进行实现，提高查找效率。

  6. 应用实例：顺序表广泛应用于程序开发中，例如在一些编程语言中的数组就是采用顺序表的方式实现的。在内存中，数组也是一种顺序表的典型表示方式。

【数据结构和算法】顺序表（动态顺序表、头插、尾插、任意位置插入、头删、尾删、任意位置删除、遍历查找、二分查找）_顺序表头部插入-CSDN博客

1.2 链表

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  1. 定义和特性：链表是一种线性表的存储结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据元素和指向下一个节点的指针。链表可以分为单向链表、双向链表和循环链表等不同类型。链表的特点是不要求内存空间连续，可以动态地分配和回收内存，因此适用于频繁插入和删除的场景。

  2. 实现方式：链表通过节点之间的指针来实现元素之间的连接。每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针（双向链表还包含指向前一个节点的指针）。链表的实现方式相对灵活，可以随时动态改变链表的结构。

  3. 操作与复杂度：链表支持基本的插入、删除、查找等操作。插入和删除操作的时间复杂度为O(1)，查找操作的时间复杂度为O(n)。链表的空间复杂度为O(n)，每个节点需要额外的存储空间来存储指针。

  4. 适用场景：链表适用于频繁插入和删除操作的场景，以及对内存空间要求不连续的场景。在实际应用中，例如在实现队列、栈、哈希表等数据结构时，常常会使用链表来实现。

  5. 相关算法：链表的相关算法包括反转链表、合并两个有序链表、检测链表是否有环等。这些算法都是基于链表特性的实现，对于某些问题提供了较为高效的解决方案。

  6. 应用实例：链表广泛应用于计算机科学中，例如在操作系统中的进程调度、在数据库中的存储结构、在图形学中的多边形表示等都有链表的影子。此外，许多编程语言的标准库中也包含了链表的实现。

【数据结构和算法】链表（顺序表 VS 链表、8种链表结构、单链表、双向链表）-CSDN博客

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1.3 栈 & 队列

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  1. 定义和特性：

    • 栈（Stack）是一种后进先出（LIFO）的数据结构，只允许在栈顶进行插入（入栈）和删除（出栈）操作。

    • 队列（Queue）是一种先进先出（FIFO）的数据结构，允许在队列的一端插入元素（入队），另一端删除元素（出队）。

  2. 实现方式：

    • 栈可以使用数组或链表来实现。数组实现的栈称为顺序栈，链表实现的栈称为链式栈。

    • 队列同样可以使用数组或链表来实现。数组实现的队列称为顺序队列（循环队列），链表实现的队列称为链式队列。

  3. 操作与复杂度：

    • 栈的基本操作包括入栈和出栈操作。入栈和出栈的时间复杂度均为O(1)。

    • 队列的基本操作包括入队和出队操作。入队和出队的时间复杂度均为O(1)。

  4. 适用场景：

    • 栈适用于需要后进先出的场景，例如函数的调用栈、表达式求值、括号匹配等。

    • 队列适用于需要先进先出的场景，例如任务调度、消息传递等。

  5. 相关算法：

    • 栈的相关算法包括中缀表达式转后缀表达式、非递归函数的实现、深度优先搜索等。

    • 队列的相关算法包括广度优先搜索、实现缓存、任务调度等。

  6. 应用实例：

    • 栈的应用场景包括浏览器的历史记录、编辑器的撤销操作、系统调用的存储等。

    • 队列的应用场景包括消息队列、生产者消费者模式、打印任务队列等。

【数据结构和算法】栈和队列_-CSDN博客

二、树形结构

2.1 堆

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  1. 定义和特性：堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，它满足堆属性：对于堆中任意节点i的值都要大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。根据堆属性的不同，堆可以分为最大堆（每个节点的值大于等于其子节点的值）和最小堆（每个节点的值小于等于其子节点的值）。

  2. 实现方式：堆通常使用数组来实现，将父节点和子节点的关系映射到数组的索引上。这种实现方式可以较为高效地进行插入和删除操作，并且能够满足堆的性质。

  3. 操作与复杂度：堆主要支持插入元素、删除元素、查找堆顶元素等操作。插入和删除的时间复杂度为O(log n)，其中n为堆中元素的个数。查找堆顶元素的时间复杂度为O(1)。

  4. 适用场景：堆适用于需要快速找到最大值或最小值的场景，例如优先级队列、堆排序、定时器事件等。

  5. 相关算法：堆的相关算法包括向下调整建堆O(n)、堆排序O(nlogn)、Top k 问题（寻找前k大或前k小的元素）等。

  6. 应用实例：堆广泛应用于计算机科学中，例如操作系统的进程调度、网络通信的数据包传输、图算法中的Dijkstra算法等都可能用到堆结构。

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【数据结构与算法】二叉树的顺序结构—堆（堆的基本实现，TopK问题，堆排序）-CSDN博客

2.2 AVL树

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  1. 定义和特性：AVL树是一种自平衡二叉搜索树，它满足平衡因子的限制：对于AVL树的任意节点，其左子树高度与右子树高度之差的绝对值不超过1。通过维持平衡因子的要求，AVL树能够保持树的高度较小，以提高查找等操作的效率。

  2. 实现方式：AVL树的实现方式与普通的二叉搜索树类似，每个节点包含一个关键字和左右子节点的指针。当进行插入或删除操作时，需要通过对节点进行旋转和调整，使树保持平衡。

  3. 操作与复杂度：AVL树支持插入、删除、查找等基本操作，这些操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。由于AVL树的平衡性质，对于平衡的AVL树，查找操作的平均时间复杂度为O(log n)。

  4. 适用场景：AVL树适用于需要频繁执行插入、删除和查找操作，并且对查询性能要求较高的场景。例如，在数据库的索引结构、编译器中的符号表、字典等应用中常使用AVL树以提高查询效率。

  5. 相关算法：AVL树的相关算法包括插入操作、删除操作、平衡操作等。这些算法通过对树的旋转、调整和重平衡等操作来维持树的平衡性。

  6. 应用实例：AVL树在计算机科学中有广泛的应用，例如在数据库系统中用于索引，以提高查询和排序的效率。此外，在编程语言的标准库中，也常常包含AVL树的实现。

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2.3 红黑树

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  1. 定义和特性：红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在满足二叉搜索树的性质的同时，引入了颜色标记和一些额外的规则来保持树的平衡。红黑树具有以下特性：

    • 每个节点都有一个颜色，可以是红色或黑色。
    • 根节点是黑色的。
    • 所有NIL结点都是黑色的。（NIL节点即空结点，空树也是红黑树）
    • 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
    • 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

  2. 实现方式：红黑树的实现方式基于二叉搜索树的基本结构，同时引入颜色标记和旋转操作，以确保树始终保持平衡。在插入或删除节点时，需要对树进行调整，通过变换节点的颜色和进行旋转来维持红黑树的性质。

  3. 操作与复杂度：红黑树支持插入、删除、查找等基本操作，这些操作的最坏情况下的时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。由于红黑树的平衡性质，查找操作的平均时间复杂度也为O(log n)。

  4. 适用场景：红黑树适用于需要频繁执行插入、删除和查找操作，并且对平衡性能要求较高的场景。例如在STL中的map和set容器的实现中，通常会采用红黑树作为底层数据结构。

  5. 相关算法：红黑树的相关算法包括插入节点、删除节点、旋转操作、颜色翻转等。这些算法通过对节点进行旋转和颜色变换来维护红黑树的平衡性。

  6. 应用实例：红黑树在计算机科学中有广泛的应用，如在数据库系统中用于索引、在编程语言的标准库中用于实现map、set等容器等。

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2.4 哈夫曼树

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  1. 定义和特性：哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它是一种最优二叉树，用于编码和解码一组字符。哈夫曼树的特性是：权值越大的节点离根节点越近，而权值越小的节点离根节点越远。这种特性保证了哈夫曼树的前缀码性质，使得编码和解码过程简单高效。

  2. 实现方式：哈夫曼树通常通过贪心算法构建。构建过程中，首先创建一个只包含单个字符节点的森林，然后选择两个权值最小的节点合并为一个新的节点，并把新节点的权值设为两个被合并节点的权值之和。重复此过程，直到森林中只剩下一个树，即为哈夫曼树。

  3. 操作与复杂度：哈夫曼树的主要操作是构建和编解码。构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)（使用优先级队列选取最小权重的节点），其中n为字符集的大小。编解码的时间复杂度为O(m)（取决于字符在哈夫曼树中的深度），其中m为待编解码的字符串长度。

  4. 适用场景：哈夫曼树适用于需要对一组字符进行编码和解码的场景。例如在数据压缩算法中，哈夫曼树被广泛应用于无损压缩，将出现频率高的字符使用较短的编码表示，从而减小文件的大小。

  5. 相关算法：哈夫曼树的相关算法包括构建算法（如贪心算法）、编码算法和解码算法。构建算法通过合并节点来构建哈夫曼树，编码算法将字符映射到哈夫曼树上的路径，解码算法通过遍历哈夫曼树来还原字符。

  6. 应用实例：哈夫曼树在计算机科学中有广泛的应用。例如，在数据压缩算法中，如ZIP和GZIP等，使用哈夫曼树进行编码和解码以减小文件的大小。此外，在通信领域中，哈夫曼树也被用于数据传输的压缩和解压缩。

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终于把哈夫曼树搞明白了(三)_如何构造哈夫曼树?_哔哩哔哩_bilibili

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2.5 B树系列

B树
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B+树
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B*树
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  1. 定义和特性：

    • B树：B树是一种自平衡的多路搜索树，其节点可以包含多个子节点。根节点至少有1个键，2个孩子；每个分支节点都包含k-1个键和k个孩子，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m（ceil是向上取整函数）；所有的叶子节点都在同一层；节点中的键按升序排列，节点当中k-1个键正好是k个孩子包含的元素的值域划分
    • B+树：B+树是在B树基础上做了改进的一种多路搜索树。分支节点的子树指针与关键字个数相同；B+树的分支节点只存储key不存储value，分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层；分支节点中的关键字其实是对应子树中的最小值；所有叶子节点按照键的升序连接起来形成一个有序链表，方便范围查询和遍历。
    • B*树：B*树是在B+树基础上做了改进的一种多路搜索树。B*树对于非叶子节点的分裂不像B+树那样简单地将一半分裂给新节点，将中间键提升到上层节点（最少m/2）。而是在插入过程中如果当前节点满了，就将一部分数据移动到兄弟结点中，如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各移动1/3的数据到新结点（最少2/3m)，以充分利用节点的空间，减少树的深度。

  2. 实现方式：B树、B+树和B*树的实现方式相似，基于多路搜索树的结构，节点中的键值对有序排列，并且保持树的平衡性质。在插入或删除节点时，需要对树进行调整，通过节点的分裂或合并来维持树的平衡。

  3. 操作与复杂度：这三种树结构的操作包括插入、删除、查找等，具有相似的时间复杂度。对于一棵节点为N，度为M的B树，查找和插入需要最少log{M}N次 ~ 最多log{M/2}N + 1次比较（M/2向上取整）。由于B+树和B*树叶子节点之间建立了有序链表，所以范围查询更加高效。

  4. 适用场景：B树（系列）是一种适合外查找的树，他通过提高节点度数、增加关键字个数，来压缩高度、减少查找次数，从而达到减少磁盘I/O操作的目的

  5. 相关算法：B树、B+树和B*树的相关算法包括插入、删除、节点分裂和合并等。这些算法通过调整节点的结构来保持树的平衡，并提高树的性能。

  6. 应用实例：B树、B+树和B*树在数据库系统、文件系统和操作系统等领域中有广泛的应用。

【高阶数据结构】B树 {B树的概念；B树的实现：节点设计，查找，插入，遍历，删除；B树的性能分析；B+树和B*树；B树的应用}-CSDN博客

2.6 并查集

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  1. 定义和特性：并查集是一种数据结构，用于管理元素的分组和连接性。并查集中的每个元素都被视为一个节点，可以根据节点间的连接关系将它们分为若干个不相交的集合。并查集具有以下特性：

    • 支持两种操作：查找（find）和合并（union）。
    • 查找操作用于确定元素所属的集合，即找到元素的根节点。
    • 合并操作用于将两个集合合并成一个集合，即将其中一个集合的根节点指向另一个集合的根节点。

  2. 实现方式：并查集通常使用数组或树结构来实现。使用数组实现时，可以通过记录每个元素的根节点来表示集合的连接关系。使用树结构实现时，可以使用树的根节点表示集合，并按需连接不相交的集合。

  3. 操作与复杂度：并查集支持查找操作和合并操作，这两种操作的时间复杂度都可以达到接近O(1)的水平。这是因为在合并时，可以通过路径压缩和按秩合并等技术来尽量降低树的深度，从而提高查找和合并操作的效率。

  4. 适用场景：并查集适用于需要快速判断元素之间连接性的场景，比如在图论中用于判断图的连通性、Kruskal算法中用于最小生成树的构建、集合合并的问题等。

  5. 相关算法：并查集的相关算法包括查找操作、合并操作、路径压缩和按秩合并等。这些算法可以有效提高并查集的查询和合并性能。

  6. 应用实例：并查集在各种离散数学问题、图论问题和算法设计中有广泛的应用，如Kruskal算法、社交网络中的好友关系判断等。

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三、哈希结构

3.1 哈希表

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  1. 定义和特性：哈希表是一种数据结构，通过计算哈希函数，将键映射到存储桶中。它具有快速的查找、插入和删除操作，并且在理想情况下具有常数时间复杂度。哈希表由键值对组成，每个键唯一对应一个值。

  2. 实现方式：哈希表内部通常由一个数组和对应的哈希函数组成。哈希函数将键映射到数组的特定位置（存储桶）。在哈希冲突时，通常采用链表、平衡树等方式解决。

  3. 操作与复杂度：哈希表支持的基本操作包括插入（put）、查找（get）、删除（remove）等。在理想情况下，这些操作的时间复杂度为O(1)，但在存在哈希冲突时，复杂度可能会退化。

  4. 适用场景：哈希表适用于需要快速查找、插入和删除操作，并且键值唯一的场景中。它在处理大规模数据中通常具有很高的性能。

  5. 相关算法：哈希表与哈希函数相关联，其设计和优化都与哈希函数密切相关。另外，哈希表也与哈希冲突解决算法相关，如拉链法、线性探测法等。

  6. 应用实例：哈希表在实际工程中广泛应用。例如，在编程语言中的哈希表数据结构，用于实现关联数组或字典；在数据库系统中的哈希索引，用于加速数据检索等。

【高阶数据结构】哈希表 {哈希函数和哈希冲突；哈希冲突的解决方案：开放定址法，链地址法；红黑树结构 VS 哈希结构}-CSDN博客

3.2 位图

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  1. 定义和特性：位图是一种数据结构，它由一个二进制位数组或者比特数组组成，每个位（bit）只能存储 0 或 1。位图通常被用来表示大量整数的集合，通过位的状态来表示该整数是否出现在集合中。位图支持高效的位操作（如按位与、按位或、按位异或等），适合用于高效地存储和操作大量的布尔型数据。

  2. 实现方式：位图可以被实现为一个数组，其中每个元素都是一个字节，而每个字节又包含8个位。对于很大的位图，可以使用多个数组进行分段存储。位图通常不仅仅用于表示整数的集合，还可以用于标记某个特定值是否存在。

  3. 操作与复杂度：位图支持的基本操作包括设置某一位为 1，清除某一位为 0，或者测试某一位的状态等。因为位图的底层数据结构是二进制数组，所以这些基本操作可以在常数时间内完成。

  4. 适用场景：位图通常在需要高效地表示大规模的布尔型数据集合时使用。举例来说，它可以应用于网络流量分析、数据库索引、压缩算法、密码学等领域。

  5. 相关算法：位图与位运算相关紧密，通过位运算可以高效地对位图进行操作。这包括与、或、非、异或等操作。另外，位图所涉及的算法还包括位图的压缩算法、位图的搜索算法等。

  6. 应用实例：位图在实际工程中有多种应用。例如，在搜索引擎中，位图被用来表示网页的索引；在数据库系统中，位图索引可以用来加速查询操作；在计算机网络中，位图可以用于IP地址的查找。

【高阶数据结构】哈希的其他应用 {位图的介绍及实现，位图的组合应用；布隆过滤器的介绍及实现，布隆过滤器的应用；哈希切分}-CSDN博客

3.3 布隆过滤器

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  1. 定义和特性：布隆过滤器是一种空间高效的数据结构，用于判断一个元素是否属于一个集合。它由一个位数组和多个哈希函数组成。插入元素时，将元素经过多个哈希函数映射到位数组上；查询元素时，通过同样的哈希函数映射到位数组上，如果所有对应位都为1，则可能存在该元素，如果有一个为0则一定不存在。因此布隆过滤器可能存在一定的误判率。

  2. 实现方式：布隆过滤器通常使用一个位数组表示，同时使用多个哈希函数来映射元素到位数组上。当插入元素时，对应的位被标记为1；当查询元素时，检查对应的位，如果所有位都为1，则可能存在该元素。

  3. 操作与复杂度：布隆过滤器支持的基本操作包括插入元素和查询元素。插入和查询的时间复杂度都是O(k)，其中k为哈希函数的个数。布隆过滤器的空间复杂度与位数组的大小有关，但通常情况下是与预期容量和误判率相关的。

  4. 适用场景：布隆过滤器适合用于处理大量数据集合的成员关系查询，并且可以容忍一定的误判率。它在缓存、数据库查询、垃圾邮件过滤等领域有广泛的应用。

  5. 相关算法：布隆过滤器涉及的算法主要是哈希函数的选择和位数组的操作。另外，还有一些改进的布隆过滤器，如Counting Bloom Filter和Scalable Bloom Filter等。

  6. 应用实例：布隆过滤器在实际工程中有多种应用。例如，网络路由器使用布隆过滤器来快速决定一个给定IP地址是否合法；在分布式系统中，布隆过滤器可以用于降低分布式缓存中的缓存穿透问题。

【高阶数据结构】哈希的其他应用 {位图的介绍及实现，位图的组合应用；布隆过滤器的介绍及实现，布隆过滤器的应用；哈希切分}-CSDN博客

四、图形结构

4.1 概括总结

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  1. 定义和特性：图是一种由节点（顶点）和节点之间的连接（边）组成的数据结构。图可以表示各种关系和网络结构，比如社交网络、道路网络等。图可以是有向的（边有方向）或无向的（边没有方向），可以是带权的（边有权值）或无权的（边没有权值）。

  2. 实现方式：图可以用多种方式来实现，常见的方式有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列代表图中的节点，矩阵中的元素表示节点之间的连接关系；邻接表是使用链表或数组来表示每个节点的邻居节点。

  3. 操作与复杂度：图支持的基本操作包括添加节点和边、删除节点和边、查找节点和边等。图的操作复杂度取决于具体的实现方式和操作类型。

  4. 适用场景：图是用于表示和解决各种复杂关系和网络问题的重要数据结构。它在网络分析、推荐系统、路径规划等领域有广泛的应用。

  5. 相关算法：图涉及的算法包括最短路径算法（如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法）、最小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）、图遍历算法（如深度优先搜索和广度优先搜索）等。

  6. 应用实例：图在实际工程中有多种应用。例如，在社交网络中，图可以用于表示用户之间的关系；在地图导航系统中，图可以用于表示道路网络和计算最短路径。

【高阶数据结构】图 {图的基本概念；图的存储结构：邻接矩阵，邻接表；图的遍历：BFS，DFS}-CSDN博客

4.2 图遍历算法

图遍历算法是用于在图结构中访问和处理所有节点的算法。常见的图遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

  1. 深度优先搜索（DFS）:

    • DFS是一种用于图遍历的算法，它从起始节点开始，一直沿着路径直到到达最深的节点，然后再回溯到上一个节点，继续探索下一个路径。DFS可以通过递归或者使用栈来实现。
    • 优点：实现简单，适用于寻找连通分量、拓扑排序等任务。
    • 缺点：不一定能得到最短路径，可能会陷入深层次的路径，不适合用于寻找最短路径的问题。

  2. 广度优先搜索（BFS）:

    • BFS是一种用于图遍历的算法，它从起始节点开始，首先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些相邻节点的邻居节点。BFS可以使用队列来实现。
    • 优点：能够搜索最短路径，适用于寻找最短路径的问题。
    • 缺点：需要额外的空间来存储节点的信息，实现稍微复杂一些。

【高阶数据结构】图 {图的基本概念；图的存储结构：邻接矩阵，邻接表；图的遍历：BFS，DFS}-CSDN博客

4.3 最小生成树算法

最小生成树算法主要有Prim算法和Kruskal算法两种。

  1. Prim算法：

    • 从任意一个顶点开始，将其加入生成树中。
    • 选择与生成树相连的最短边，将其连接的顶点加入生成树中。
    • 重复以上步骤，直到所有顶点都已加入生成树为止。

  2. Kruskal算法：

    • 将所有边按照权值从小到大进行排序。
    • 依次取出权值最小的边，若该边连接的两个顶点不在同一连通分量中，则将其加入生成树中。
    • 重复以上步骤，直到生成树中包含了所有顶点。

这两种算法都是贪心算法，通过不断选择当前状态下的最优解来构建最小生成树。它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(ElogE)，其中V为顶点数，E为边数。在实际应用中，选取合适的算法取决于图的规模和边的数量等因素。

【高阶数据结构】图 {最小生成树：Kruskal算法，Prim算法；最短路径：Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法}-CSDN博客

4.4 最短路径算法

最短路径算法主要有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法三种。

首先初始化两个数组，一个用来存储源点和任意顶点之间的最短路径的父节点，一个用来存储最短路径的长度。

  1. Dijkstra算法（单源）：
    • 从起始顶点开始，将其加入已访问的顶点集合，并初始化起始顶点到其他顶点的距离。
    • 选择与起始顶点直接相连的顶点中距离最短的顶点，将其加入已访问的顶点集合。
    • 更新起始顶点到其他顶点的距离，若经过当前已访问的顶点到其他顶点的距离比原先的距离短，则更新距离。
    • 重复以上步骤，直到所有顶点都已加入已访问的顶点集合。
  2. Bellman-Ford算法（单源）：
    • 初始化距离数组，将起始顶点的距离设置为0，其余顶点的距离设置为无穷大。
    • 通过对所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|为顶点的数量。
    • 检查每条边的两个顶点，如果经过当前边可以获得更短的路径，则更新路径长度。
    • 最后再次遍历所有边，检查是否存在负权回路。
  3. Floyd-Warshall算法（多源）：
    • 初始化两个二维数组，一个用来存储任意两个顶点之间的最短路径的父节点，一个用来存储最短路径的长度。
    • 通过三重循环，逐步尝试将中间顶点纳入考虑，即假设中间顶点k是当前考虑的点，则对于任意两个顶点i和j，如果通过顶点k可以使得从i到j的路径长度变短，则更新dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])。
    • 重复以上操作直到所有顶点都被考虑为中间节点为止。最终得到一个二维数组，其中存储了任意两个顶点之间的最短路径距离。

Dijkstra算法和Bellman-Ford算法适用于单源最短路径问题，它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(V*E)，其中V为顶点数，E为边数，Bellman-Ford算法的性能较Dijkstra算法略差，但是它可以处理带有负权边的图，并且能够检测负权回路。Floyd-Warshall算法适用于多源最短路径问题，它的时间复杂度为O(V^3)，其中V为顶点数。选择合适的算法取决于具体的问题需求和图的规模等因素。

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4.5 有向无环图的应用

有向无环图的应用—描述表达式、AOV网、拓扑排序、AOE网、关键路径-CSDN博客

图-拓扑排序_哔哩哔哩_bilibili

图-AOE网和关键路径_哔哩哔哩_bilibili

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怎么求关键路径？先求点，再求边

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源点和汇点的ve, vl相等，工程的开始和结束不能拖延

求ve：先将所有事件的ve初始化为源点的ve(0)，按照拓扑序从源点求到汇点，其他事件的ve取所有路径活动最早开始时间的最大值（所用时间的最大值），因为要保证所有的活动都完成事件才能发生。

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求vl：先将所有事件的vl初始化为汇点的vl(ve)，按照逆拓扑序从汇点求到源点，其他事件的vl取所有路径活动最晚开始时间的最小值（结束时间-所用时间的最大值），因为要保证所有路径活动都有足够的时间完成。

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求e：活动的最早开始时间就是开始事件的最早开始时间。

求l：活动的最晚开始时间就是结束事件的最晚开始时间-活动所用时间。

关键活动：e和l相等的活动

关键路径：由关键活动连接而成的路径，耗时最长的路径。关键路径可能不是唯一的。

时间余量：每个活动的最晚开始时间l - 最早开始时间e = 时间余量；表示该活动可以拖延的时间。关键活动的时间余量是0，是不能拖延的活动。

五、其他

5.1 跳表

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  1. 定义和特性：跳表是一种有序的数据结构，是一种空间换时间的设计思想。跳表通过添加多层索引来加速查询操作，使得查询的时间复杂度接近于O(log n)。在一层索引中，每个节点都具有指向同层下一个节点的指针。跳表可以用于替代有序链表和平衡二叉树，它在某些情况下比平衡二叉树的查询操作更快。

  2. 实现方式：跳表由一个有序链表组成，同时使用多层索引来加速查询操作。每一层索引都是原始链表的一个子集，且节点之间的链接关系保持有序。通过增加层数，跳表的查询效率逐渐提高。

  3. 操作与复杂度：跳表支持的基本操作包括插入、删除和查询。在跳表中插入和删除一个元素的时间复杂度为O(log n)，其中n为跳表中的元素个数。查询操作的时间复杂度也为O(log n)。

  4. 适用场景：跳表适用于需要高效的查询操作，并且对添加和删除操作的效率要求相对较低的场景。跳表在Redis等内存数据库中经常被使用来提高查询效率。

  5. 相关算法：跳表涉及的算法主要是层级索引的建立和维护。常见的一种算法是跳表的插入算法，它通过随机生成层数来建立索引，使得查询操作的效率更高。

  6. 应用实例：跳表在实际工程中有多种应用。例如，在区块链技术中，跳表可以用于实现快速的交易确认；在网络中，跳表可以用于路由表的构建和维护。

【高阶数据结构】跳表 {什么是跳表-skiplist；skiplist的效率如何保证；skiplist的实现；skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比}-CSDN博客

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