概率释疑 | 高一层次

前言

疑难廓清

✍️【人教 2019A 版教材 \(P_{246}\) 习题 \(10.1\) 第 \(4\) 题】判断下列说法是否正确．若错误，请举出反例．

(1). 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；

(2). 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；

(3). 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 中至少有一个发生的概率一定比 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生的概率大；

(4). 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 同时发生的概率一定比 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生的概率小．

解析：以投掷一枚正方体骰子为例，向上的点数构成的样本空间 \(\Omega\)\(=\)\(\{1,2,3,4,5,6\}\)，满足有限等可能性，故已经搭建起了古典概型的框架。再定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,2\}\)， \(B\)\(=\)\(\{3,4\}\)， \(C\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， \(D\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)；

(1). 事件 \(A\)、\(B\) 是互斥的，但是不是对立事件，故前半句的判断错误； 事件 \(C\)、\(D\) 是相互对立的，也是互斥事件，故后半句的判断错误；

(2). 正确；

(3). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， \(B\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)，则事件\(A\) 与 \(B\)互斥且对立；又由于事件 \(\bar{A}\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)， \(\bar{B}\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 中至少有一个发生，用事件 \(A+B\) 刻画，事件 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生用 \(A\bar{B}+\bar{A}B\) 刻画，则 \(A\bar{B}=A\)，\(\bar{A}B=B\)，\(P(A+B)\)\(=\)\(P(\Omega)\)\(=\)\(1\)，而 \(P(A\bar{B}+\bar{A}B)\)\(=\)\(P(A+B)\)\(=\)\(1\)，故错误；

若学生思维层次高，可以直接用例子： \(A\) 与 \(B\) 互斥，则 \(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，故错误；

(4). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,2,3,4,5\}\)， \(B\)\(=\)\(\{2,3,4,5,6\}\)，事件 \(A\) 与事件 \(B\) 同时发生为 \(AB=\{2,3,4,5\}\)，则 \(P(AB)=\cfrac{2}{3}\)，事件 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生用 \(A\bar{B}\)\(+\)\(\bar{A}B\) 刻画，\(A\bar{B}\)\(+\)\(\bar{A}B\)\(=\)\(\{1,6\}\)，则 \(P(A\bar{B}+\bar{A}B)\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)，故错误；