大气热力学（5）——绝热过程

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 5.1 气块的概念
• 5.2 热力学第一定律的几种微分形式
• 5.3 干绝热过程
• 5.4 干绝热递减率（干绝热直减率）
• 5.5 湿绝热过程
  • 5.5.1 潜热
  • 5.5.2 假绝热过程
• 5.6 湿绝热递减率（湿绝热直减率）
• 5.7 从 T-lnP 图看干绝热线和湿绝热线

5.1 气块的概念

为了研究大气运动的热力性质，需要研究一个无限小尺度的气块活动，对该气块作如下假设：

• 气块与周围大气没有热量交换，所以当它作上升或下降运动时，其温度作绝热变化；
• 气块作升降运动时，其压强与周围大气的压强始终保持相等；
• 环境空气处于流体静力平衡状态；
• 气块运动十分缓慢，所以其动能与气块的总能量相比可以忽略。

这个简单、理想化的模型有助于我们理解大气垂直运动的某些物理过程。

5.2 热力学第一定律的几种微分形式

我们知道，热力学第一定律可写为如下微分形式：

\[\mathrm{d} Q = \mathrm{d} E + \mathrm{d} W = \mathrm{d} E + p \mathrm{d} V \]

现在求 \(\mathrm{d} E\)。我们写出定容比热的定义式（注意定容过程有 \(\mathrm{d} W = 0\)，于是有 \(\mathrm{d}Q = \mathrm{d}E\)）：

\[C_{V, m} = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}T} = \frac{i}{2} R \]

整理得：

\[\mathrm{d}E = \frac{i}{2} R \mathrm{d}T = C_{V, m} \mathrm{d}T \]

代入到上式得：

\[\mathrm{d} Q = C_{V, m} \mathrm{d}T + p \mathrm{d} V \]

这就是热力学第一定律的第二种微分形式。

由迈耶公式 \(C_{p,m} = C_{V,m} + R\)，上式又可以写为：

\[\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T + p \mathrm{d} V - R \mathrm{d}T \]

对气体状态方程 \(pV = RT\) 两边微分得：

\[p\mathrm{d}V + V \mathrm{d}p = R \mathrm{d}T \]

代入上式得：

\[\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p \]

这就是热力学第一定律的第三种微分形式，下一节的绝热过程推导需要用到。

对于运动中的单位质量（\(m = 1 \mathrm{kg}\)）的气块，注意到流体静力学方程为 \(\mathrm{d} p = - g \rho \mathrm{d}z\)，如果我们把热力学第一定律与重力位势 \(\mathrm{d} \Phi = g \mathrm{d}z\) 联系起来，那么可以得到如下推导：

\[\begin{aligned} \mathrm{d} Q &= C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + V \cdot g \rho \mathrm{d}z \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + \rho V \mathrm{d} \Phi \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + m \mathrm{d} \Phi \\ &= C_{p, m} \mathrm{d}T + \mathrm{d} \Phi \end{aligned} \]

这就是运动中单位气块的热力学表达式。

5.3 干绝热过程

自然界中存在的各种各样的物质，绝大多数都是以固、液、气三种聚集态存在着。为了描述物质的不同聚集态，而用“相”来表示物质的固、液、气三种形态的“相貌”。不同相之间的相互转变，称为相变或称物态变化。

大气中进行的物理过程，通常伴有不同形式的能量转换。在能量转换过程中，空气的状态要发生改变。在气象学上，任一气块与外界之间无热量交换时的状态变化过程，叫做绝热过程。在大气中，作垂直运动的气块，其状态变化通常接近于绝热过程。当升、降气块内部既没有发生水相变化，又没有与外界交换热量的过程，称作干绝热过程。

对于一团单位质量的气体，其绝热过程的特征为：\(\mathrm{d} Q = 0\)，热力学第一定律可写为：

\[\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T - V \mathrm{d}p = 0 \\ 移项得：C_{p, m} \mathrm{d}T = V \mathrm{d}p \]

再由状态方程 \(pV = RT\) 得到 \(V = \frac{RT}{p}\)，代入上式可得：

\[C_{p,m} \mathrm{d}T = \frac{RT}{p} \mathrm{d}p \\ 整理得：\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R}{C_{p,m}} \frac{\mathrm{d}p}{p} \]

设干绝热过程中，气块的初态为 \((p_0, T_0)\)，终态为 \((p, T)\)，对方程两边进行积分得：

\[\begin{aligned} \int_{T_0}^{T} \frac{\mathrm{d}T}{T} &= \frac{R}{C_{p,m}} \int_{p_0}^{p} \frac{\mathrm{d}p}{p} \\ \ln \frac{T}{T_0} &= \frac{R}{C_{p,m}} \ln \frac{p}{p_0} \\ \frac{T}{T_0} &= \bigg( \frac{p}{p_0} \bigg) ^{\frac{R}{C_{p,m}}} \end{aligned} \]

因为 \(\frac{R}{C_{p,m}} = 0.286\)，所以：

\[\frac{T}{T_0} = \bigg( \frac{p}{p_0} \bigg) ^{0.286} \]

上式称为干绝热方程，又称为泊松方程。

5.4 干绝热递减率（干绝热直减率）

由：

\[\mathrm{d} Q = C_{p, m} \mathrm{d}T + \mathrm{d} \Phi = 0 \]

移项并上下同除以 \(\mathrm{d} z\) 得：

\[C_{p, m} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} z} \]

整理得到：

\[-\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = \frac{g}{C_{p, m}} \]

定义下式为干绝热递减率（用 \(\gamma_d\) 表示）：

\[\gamma_d = - \bigg( \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} \bigg)_{干空气块} \]

将 \(g = 9.81 \ \mathrm{m/s^2}\) 和 \(C_{p,m} = 1004 \ \mathrm{J/(℃ \cdot kg)}\) 代入可求得干绝热递减率为 \(\gamma_d = 0.98 \ ℃ / 100 \mathrm{m} = 0.98 \ \mathrm{K} / 100 \mathrm{m}\)。实际工作中取 \(\gamma_d = 1 \ ℃ / 100 \mathrm{m}\)，这就是说，在干绝热过程中，气块每上升 100m，温度约下降 1℃。

【注意】\(\gamma_d\) 与 \(\gamma\)（气温直减率）的含义是完全不同的。\(\gamma_d\) 是干空气在绝热上升过程中气块本身的降温率，它近似于常数；而\(\gamma\) 是表示周围大气的温度随高度的分布情况。大气中随地-气系统之间热量交换的变化，\(\gamma\) 可有不同数值，即可以大于、小于或等于 \(\gamma_d\)。

干绝热递减率还有另外一种计算方法。先由热力学第一定律的微分形式得：

\[C_{p, m} \mathrm{d}T = RT \frac{\mathrm{d}p}{p} \]

两边同除以 \(\mathrm{d}z\) 得：

\[C_{p, m} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} = RT \frac{\mathrm{d}p}{p \mathrm{d} z} \]

引入定义式 \(\gamma_d = - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z}\) 和 静力学方程 \(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -g \rho\) 可得：

\[C_{p, m} \gamma_d = RT \frac{g \rho}{p} \]

整理得：

\[\gamma_d = RT \frac{g \rho}{p C_{p, m}} \]

利用气体状态方程 \(p= \rho RT\) 得到：

\[\gamma_d = RT \frac{g \rho}{\rho RT C_{p, m}} = \frac{g}{C_{p, m}} \]

这与我们第一次推导的结果一致。

5.5 湿绝热过程

5.5.1 潜热

在讨论是绝热过程前，需要先引入潜热的定义：指物质在等温等压情况下，从一个相变化到另一个相吸收或放出的热量。潜热分为两种：

• 蒸发潜热：蒸发过程中，由于具有较大动能的水分子脱出液面，使液面温度降低。如果保持其温度不变，必须从外界吸收热量，这部分热量即为蒸发潜热。
• 凝结潜热：与蒸发过程相反的是凝结过程。当水汽发生凝结时，这部分潜热又会全部释放出来，这就是凝结潜热。

对于绝热过程中的干空气和湿空气的潜热情况：

• 干空气：气块没有液态水和固态水，在气块的绝热过程中水不发生相变，所以没有产生潜热；
• 湿空气：气块中存在液态水和固态水，在气块的绝热过程中水发生相变，产生了潜热。更具体地讲，饱和湿空气绝热上升时，如果只是膨胀降温，亦应每上升 100m 减温 1℃。但是，水汽已经饱和了，就要因冷却而发生凝结，同时释放凝结潜热，加热气块。

显然，湿空气的绝热过程要比干空气复杂许多，因为凝结的水分可能会脱离气块，也可能随气块一起运动，不妨考虑两种极端情况：

• 可逆湿绝热过程：水汽相变产生的水成物不脱离气块，随气块上升或下降，所释放的潜热全部保留在气块内部。这时无论气块上升或下降，温度都按湿绝热递减率而变化，这是与干绝热过程一样的可逆过程。
• 假绝热过程：水汽相变产生的水成物全部脱离气块，此时气块下降时已不再是饱和湿空气，于是气块就按干绝热变化，这是一种不可逆过程。注意这时所释放的潜热仍留在气块中。

实际大气的湿绝热过程往往处于两者之间。不过，从热力学角度来看，这两者差别很小（作上升运动时，干绝热递减率与湿绝热递减率非常接近），我们一般用假绝热过程代替湿饱和气块的绝热过程。

5.5.2 假绝热过程

对于湿空气，设 1g 饱和湿空气中含有水汽 \(q_s\)g，绝热上升，凝结了 \(\mathrm{d} q_s\)g 水汽，所释放出的潜热被定义为：

\[\mathrm{d} Q = -L \mathrm{d} q_s \]

式中 \(L\) 表示水汽的凝结潜热，单位为 \(\mathrm{J/kg}\)。上式右边的负号表示当有水汽凝结时得到热量，因为这时水汽减少，\(\mathrm{d} q_s < 0\)，则 \(\mathrm{d} Q > 0\)；当水分蒸发时消耗热量，这时 \(\mathrm{d} q_s > 0\)，则 \(\mathrm{d} Q < 0\)。

现在我们把上式代入到热力学第一定律中，可得：

\[-L \mathrm{d} q_s = C_{p, m} \mathrm{d}T - RT \frac{\mathrm{d}p}{p} \]

由于这个方程中只包含湿空气相变所产生的热量，而没有考虑其它的热量，所以上式又称为湿绝热方程。饱和湿空气上升时，方程又可写为：

\[\mathrm{d}T = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d}p}{p} - \frac{L}{C_{p, m}} \mathrm{d} q_s \]

上式说明，饱和湿空气上升时，温度随高度的变化是由两种作用引起的：

• 由气压变化引起，例如上升时气压减小，\(\mathrm{d} p < 0\)，这使得温度降低；
• 由水汽凝结时释放潜热引起，上升时水汽凝结，\(\mathrm{d} q_s < 0\)，造成温度升高。

因此，凝结作用可抵消一部分由于气压降低而引起的温度降低。有水汽凝结时，空气上升所引起的降温将比没有水汽凝结时要缓慢。

5.6 湿绝热递减率（湿绝热直减率）

与干绝热递减率类似，定义下式为湿绝热递减率（用 \(\gamma_m\) 表示）：

\[\gamma_m = - \bigg( \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z} \bigg)_{湿空气块} \]

对湿绝热方程两边同除以 \(\mathrm{d}z\) 得：

\[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d}p}{p \mathrm{d}z} - \frac{L \mathrm{d} q_s}{C_{p, m} \mathrm{d}z} \]

引入定义式 \(\gamma_m = - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} z}\) 和 静力学方程 \(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -g \rho\) 可得：

\[\gamma_m = \frac{RT}{C_{p, m}} \frac{g \rho}{p} + \frac{L \mathrm{d} q_s}{C_{p, m} \mathrm{d}z} \]

利用气体状态方程 \(p= \rho RT\) 得到：

\[\gamma_m = \frac{g}{C_{p, m}} + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} \]

即：

\[\gamma_m = \gamma_d + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} \]

当饱和湿空气上升时， \(\mathrm{d}z > 0，\mathrm{d} q_s < 0\)，则有 \(\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} < 0\)；当饱和湿空气下降时，\(\mathrm{d}z < 0，\mathrm{d} q_s > 0\)，则有 \(\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z} < 0\)。所以，\(\gamma_m\) 总是小于 \(\gamma_d\)。

需要注意的是，由于 \(\frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}\) 是气压和温度的函数，所以 \(\gamma_m\) 不是常数，而是气压和温度的函数。平均而言，\(\gamma_m = 0.5 ℃/100\mathrm{m}\)。

5.7 从 T-lnP 图看干绝热线和湿绝热线

这里先简单介绍一下 T-lnP 图是什么东西。

T-lnP 图，即温度-对数压力图，是一种在单站天气预报中使用的热力学图。其横坐标是温度（ T ），以摄氏度（℃）为单位，每隔 10 ℃ 标出度数值，从图左端 -85 ℃ （188K）起向右递增，直至 40 ℃ （313K）；纵坐标是气压（对数标尺），以百帕（hpa）为单位，从基准线 1000 hpa 向上递减，至 200 hpa。纵坐标可以简单理解为大气高度。注意！因为采用了对数尺度，所以纵坐标每 1 hpa 都不是等间距的。T-lnP 图反映了大气的许多热力学性质。

上图是干绝热线和湿绝热线的对比，使用了 T-lnP 图绘制。这幅图可以简单理解为：初始温度和气压相同的干空气块和湿空气块，在作上升运动时，气块内部的温度变化。干空气块上升时，温度是线性变化地下降；而湿空气上升时，温度先是非线性变化地下降，到达某处后再线性变化地下降。具体来说，湿空气经历的是如下过程：

• 湿空气从 1000 hPa 高度抬升，进行湿绝热过程，水汽凝结释放潜热；
• 由于我们视该绝热过程为假绝热过程，湿空气到达某处后已经没有水汽了，实质已变成干空气团，继续上升时会进行干绝热过程。

为什么干绝热线和湿绝热线会是这样的结果？因为干绝热递减率 \(\gamma_d = \frac{g}{C_{p, m}}\) 是一个常数，故呈一直线；而湿绝热递减率 \(\gamma_m = \gamma_d + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}\) 总是比 \(\gamma_d\) 小，所以在干绝热线的右方。而且，下部因为温度高，\(\gamma_m\) 小，上部温度低，\(\gamma_m\) 大，这样形成上陡下缓的一条曲线。到高层水汽凝结愈来愈多，空气中水汽含量便愈来愈少，\(\gamma_m\) 愈来愈和 \(\gamma_d\) 相接近，使干、湿绝热线近于平行。

至于这个图是如何画出来的？后面介绍“位温”和“假相当位温”这个概念的时候会仔细说明。本节内容先到这里。